Algoritmo de optimización de cebra estadounidense para problemas de optimización global

Scientific Reports volumen 13, número de artículo: 5211 (2023) Citar este artículo

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En este estudio se propone un novedoso algoritmo metaheurístico de inspiración biológica, a saber, el algoritmo de optimización de cebra americana (AZOA), que imita el comportamiento social de las cebras americanas en la naturaleza. Las cebras americanas se distinguen de otros mamíferos por su distintivo y fascinante carácter social y su ejercicio de liderazgo, que obliga a las crías de cebra a abandonar la manada antes de la madurez y unirse a una manada separada sin vínculos familiares. Esta salida de la cría de cebra fomenta la diversificación al impedir el apareamiento intrafamiliar. Además, la convergencia está asegurada por el ejercicio de liderazgo de las cebras americanas, que dirige la velocidad y la dirección del grupo. Este comportamiento de estilo de vida social de las cebras americanas es de naturaleza indígena y es la principal inspiración para proponer el algoritmo metaheurístico AZOA. Para examinar la eficiencia del algoritmo AZOA, se consideran las funciones de referencia CEC-2005, CEC-2017 y CEC-2019 y se comparan con varios algoritmos metaheurísticos de última generación. Los resultados experimentales y el análisis estadístico revelan que AZOA es capaz de lograr las soluciones óptimas para funciones de referencia máximas manteniendo un buen equilibrio entre exploración y explotación. Además, se han empleado numerosos problemas de ingeniería del mundo real para demostrar la solidez de AZOA. Finalmente, se anticipa que la AZOA desempeñará un papel dominante en las próximas funciones avanzadas de referencia de la CCA y otros problemas complejos de ingeniería.

La optimización es el proceso de identificar las variables de decisión manteniendo varias restricciones para maximizar o minimizar la función de costos. Las restricciones, la función de costos y las variables de diseño son los componentes críticos de cualquier problema de optimización. Las técnicas de optimización son ampliamente aplicables en los campos de la ingeniería1, la selección de funciones2,3, el ajuste de parámetros de aprendizaje automático4, las redes de sensores inalámbricos5, el procesamiento de imágenes6 y la bioinformática7. La mayoría de los problemas de la vida real son altamente no convexos y no lineales debido a la presencia de múltiples variables de diseño y la naturaleza intrínseca de las restricciones. Además, no hay certeza de obtener una solución óptima global8. Los desafíos relacionados con estos problemas de la vida real inspiran a los científicos a diseñar estrategias novedosas y exitosas para obtener mejores resultados. Los enfoques de optimización se pueden clasificar en dos tipos, como los enfoques deterministas basados ​​en gradientes y los enfoques no tradicionales basados ​​en estocásticos9. Los enfoques deterministas tienen limitaciones para resolver problemas con espacios de búsqueda discontinuos, funciones objetivo no convexas, de alta dimensión y no diferenciables. Sin embargo, las estrategias basadas en estocásticos no practican información basada en gradientes; en cambio, son lo suficientemente inteligentes como para superar las limitaciones confiando en métodos aleatorios en el espacio de búsqueda. Los algoritmos metaheurísticos prevalecen por su amplia aplicabilidad entre las diversas técnicas en enfoques basados ​​en estocásticos. Los algoritmos metaheurísticos tienen un alto potencial para explorar el espacio de soluciones y explotar la mejor solución óptima. Por lo tanto, varios investigadores han intentado no sólo proponer algoritmos metaheurísticos novedosos sino también mejorar la eficiencia de los métodos existentes, lo que ha resultado en la concepción de varios metaheurísticos novedosos durante las últimas décadas. En general, los algoritmos metaheurísticos se pueden agrupar en tres tipos principales, como los algoritmos evolutivos (EA), los algoritmos basados ​​en fenómenos naturales (NP) y los algoritmos de inteligencia de enjambre (SI)10,11. Los algoritmos evolutivos (EA) imitan el proceso de evolución de Darwin utilizando tres mecanismos: selección, reproducción y mutación. Algunos de los EA más destacados son la evolución diferencial (DE) 12, el algoritmo genético (GA) 13, la estrategia evolutiva de adaptación de la matriz de covarianza (CMA-ES) 14, la estrategia evolutiva (ES) 15 y las variantes DE adaptativas basadas en la historia con tamaño de población lineal. Reducción (L-SHADE)16, Optimizador basado en biogeografía (BBO)17 y Basado en el desempeño del alumno: comportamiento (LPB)18. Los algoritmos basados ​​en NP emulan las leyes químicas y físicas del cosmos. La mayoría de los algoritmos conocidos basados ​​en esta categoría son el recocido simulado (SA)19, la optimización de la fuerza central (CFO)20, el algoritmo de búsqueda gravitacional (GSA)21, el optimizador del ciclo del agua (WCO)22 y el algoritmo de agujero negro (BHA)23. , Algoritmo de búsqueda relámpago (LSA)24, Optimización multiverso (MVO)25, Optimización de intercambio térmico (TEO)11, Optimización de la solubilidad del gas Henry26, Optimizador de equilibrio (EO)27, Algoritmo de optimización de Arquímedes (AOA)28, Algoritmo de Lichtenberg (LA) )29, algoritmo de dirección del flujo (FDA)30 y optimización de fusión-fisión (FuFiO)31. Los algoritmos de Swarm Intelligence (SI) siguen el comportamiento natural de mamíferos, aves e insectos. La mayoría de los algoritmos populares basados ​​en SI son el algoritmo Particle Swarm Optimizer (PSO)32, Gray Wolf Optimizer (GWO)33, Elephant Herding Optimization (EHO)34, Moth Flame Optimization (MFO)35, Whale Optimization Algorithm (WOA)36, Salp Algoritmo de enjambre (SSA)37, Algoritmo optimizador de saltamontes (GOA)38, Optimización de Harris Hawks (HHO)39, Optimizador de enjambre competitivo improvisado (ICSO)40, Algoritmo de enjambre Tunicate (TSA)41, Distribución de vuelo de Levy (LFD)10 y Algoritmo de optimización de buitres americanos (AVOA)42, Optimizador de Aquila (AO)43, Optimizador de águila real (GEO)44, Algoritmo de depredación de orcas (OPA)45 y Optimización de conejos artificiales (ARO)46, Optimizador de tropas de gorilas artificiales (GTO)47, Optimizador de gacela de montaña (MGO)48. Es enfático afirmar que las metaheurísticas49 existentes tienen ventajas y limitaciones. Por ejemplo, el algoritmo PSO clásico tiene la debilidad de una convergencia prematura en el espacio de búsqueda de alta dimensión, mientras que el algoritmo genético tiene dificultades en el ajuste de parámetros y el cálculo extenso. De manera similar, el algoritmo de búsqueda gravitacional tiene el inconveniente de una tasa de convergencia lenta y la presencia de muchos parámetros de control. El eminente algoritmo GWO tiene dificultades para abordar problemas de ingeniería desafiantes debido a su baja capacidad de búsqueda local. Además, el algoritmo TSA recientemente propuesto tiene la capacidad de abordar problemas multimodales de grandes dimensiones. Por tanto, es fundamental desafiar estas limitaciones adaptando nuevas técnicas y metodologías. Además, el "Teorema del almuerzo gratis (NFL)"50 establece que ningún algoritmo puede considerarse el mejor optimizador para todos los problemas de optimización. Los problemas no resueltos también necesitan un escaso enfoque para obtener soluciones. Como resultado, es necesario que investigadores de todo el mundo ofrezcan metaheurísticas pioneras con frecuencia. Por lo tanto, en este artículo se proyecta una nueva metaheurística inspirada en el comportamiento social de las cebras americanas, concretamente el algoritmo de optimización de cebras americanas (AZOA). Las cebras americanas son animales socialmente aptos que permanecen en un grupo con un macho, varias hembras y sus crías51. Los comportamientos más importantes de las cebras incluyen alimentarse, aparearse, preservar la jerarquía social y guiar a las crías52,53. Las cebras americanas se distinguen de otros mamíferos por su carácter único y fascinante de "honestidad". El carácter social "honestidad" obliga a las crías de cebra a abandonar la manada antes de la madurez y unirse a una manada separada sin relación familiar. Esta salida de la cría de cebra equilibra la diversificación al impedir el apareamiento intrafamiliar. Además, la cebra macho madura del grupo encanta a la cebra hembra para persuadir la convergencia. Este concepto tan escaso de acuerdo social nos inspira a proponer el Algoritmo de Optimización de Cebra Estadounidense (AZOA). Se prevé que la sencillez y la solidez del algoritmo AZOA impulsarán soluciones globales rápidas y precisas al tiempo que resuelven funciones de referencia y problemas de ingeniería de la vida real. Las principales aportaciones de este estudio se destacan a continuación:

Se propone un novedoso algoritmo bioinspirado, a saber, el algoritmo de optimización de la cebra estadounidense (AZOA), inspirado en el comportamiento social único y el ejercicio de liderazgo de las cebras estadounidenses.

Los diversos comportamientos sociales de AZOA se presentan y modelan matemáticamente en cinco fases simples para una fácil implementación y un rendimiento superior.

AZOA se implementa y prueba en las funciones de prueba de referencia CEC-2005, CEC-2017 y CEC-2019 y en varios problemas de diseño de ingeniería para garantizar la solidez del algoritmo propuesto.

El resto del artículo está organizado de la siguiente manera: Secc. 2 revisa los trabajos relacionados. La sección 3 analiza la motivación y el modelado matemático del trabajo propuesto. La Sección 4 presenta la configuración experimental y las discusiones sobre los resultados. La sección 5 se centra en la aplicación de AZOA a problemas de ingeniería clásica. Finalmente, la Secta. 6 proporciona las conclusiones y recomendaciones para futuros trabajos de investigación.

En la literatura, los algoritmos metaheurísticos se clasifican en varias categorías. A pesar de las distintas clasificaciones, se podría afirmar que la mayoría de estos algoritmos se han inspirado en el comportamiento colectivo y las técnicas de caza de los animales en estado salvaje. Esta sección analiza algoritmos metaheurísticos inspirados en la naturaleza y estudia los algoritmos básicos que se han propuesto para resolver problemas de optimización. El algoritmo genético (GA) es el enfoque más antiguo y más utilizado para abordar problemas de optimización que Holland propuso en 1992, motivado por principios evolutivos darwinianos. Este algoritmo se ha empleado ampliamente en la mayoría de los problemas de optimización que involucran dos operadores de recombinación y mutación y se considera uno de los algoritmos más populares54, con numerosas variantes mejoradas y de recombinación ya descritas55. La optimización de enjambres de partículas (PSO) se propuso en 1995 basándose en el comportamiento de enjambre de aves, peces y otros animales en la naturaleza32. Se ha implementado en casi todos los campos de optimización, incluidas aplicaciones de inteligencia computacional, diseño y planificación. Sin embargo, muchos investigadores todavía proponen una gran cantidad de variantes para mejorar el rendimiento del algoritmo PSO. Para mejorar la precisión de la diversidad y evitar el óptimo local bajo de PSO, Zaman et al.56 propusieron un PSO mejorado con BSA llamado PSOBSA. El Algoritmo de Fertilidad de las Tierras Agrícolas (FFA)57 se ha desarrollado para abordar los problemas actuales; fue motivado por el hecho de que las tierras de cultivo están separadas en muchas secciones, y las soluciones de cada sector se optimizan para una eficiencia óptima, tanto en la memoria interna como en la externa. Los resultados de la simulación revelan que la fertilidad de las tierras agrícolas a menudo funciona mejor que otros algoritmos metaheurísticos. En referencia58, Farhad Soleimanian Gharehchopogh et al. mejoró el FFA para aplicarlo para abordar el problema de los TSP. Mide la calidad de cada parte de sus granjas durante su visita y mejora la calidad del suelo mediante el empleo de fertilizantes y materiales orgánicos. Harris Hawks Optimizer (HHO) es un conocido algoritmo basado en el comportamiento animal; El comportamiento cooperativo y el estilo de persecución de los halcones de Harris en la naturaleza, conocido como ataque sorpresa, es la principal inspiración para HHO59. Kaur et al. presentó el algoritmo TSA como motivado por replicar el estilo de vida de los tunicados en el mar y cómo Satnam entrega los alimentos41. Además, se considera uno de los algoritmos metaheurísticos más nuevos para cuestiones de optimización de ingeniería. Tunicate puede explorar en busca de una fuente de alimento, aunque desconoce su ubicación. Aunque el algoritmo TSA es simple y funciona bien, es fácil quedarse atascado en la optimización local, lo que hace que converja más rápido que algunos algoritmos metaheurísticos. Entonces, Farhad Soleimanian Gharehchopogh60 introdujo una versión de este algoritmo llamado algoritmo QLGCTSA para abordar estos problemas. Li et al.61 propusieron un algoritmo del moho limoso (SMA) que imita el comportamiento de difusión y búsqueda de alimento del moho limoso. Tiene una serie de características nuevas y un modelo matemático especial que simula la onda biológica utilizando pesos adaptativos. Ofrece una ruta óptima para vincular alimentos con una alta capacidad de exploración y explotación. Los resultados indican que el SMA propuesto tiene un rendimiento competitivo y frecuentemente excelente en diversos panoramas de búsqueda. El Algoritmo Árbol-Semilla (TSA) fue propuesto por Kiran en 2015 para la resolución de problemas de optimización continua y está inspirado en la relación entre árboles y semillas en la naturaleza, así como en cómo crecen y se posicionan las semillas de los árboles62. Xue et al.63 propusieron un algoritmo de búsqueda de gorriones (SSA) basado en la sabiduría grupal, la búsqueda de alimento y los comportamientos antidepredatorios de los gorriones. El algoritmo de búsqueda de cuco (CS) fue propuesto por Xin-She Yang y Suash Deb en 2009, y se inspiró en el agresivo parasitismo de cría y los comportamientos de puesta de huevos de ciertas especies de cuco64. Sin embargo, los algoritmos CS tienen problemas como la convergencia prematura, la convergencia retrasada y quedar atrapados en la trampa local. Para superar este problema, Shishavan, Saeid Talebpour et al.65 propusieron un algoritmo mejorado de optimización de búsqueda de cuco (CSO) con un algoritmo genético (GA) para la detección de comunidades en redes complejas. La búsqueda de organismos simbióticos (SOS)66 es un algoritmo metaheurístico nuevo, robusto y poderoso inspirado en las estrategias de interacción simbiótica adoptadas por los organismos para sobrevivir y propagarse en el ecosistema. En referencia67, Hekmat Mohammadzadeh et al. introdujo un algoritmo de búsqueda de selección de funciones con organismos simbióticos binarios para la detección de spam en correos electrónicos.

Este artículo no contiene ningún estudio con participantes humanos o animales realizado por ninguno de los autores.

Esta sección destaca la inspiración del estilo de vida social de la cebra americana al proponer el algoritmo AZOA junto con la formulación matemática.

Las cebras americanas pertenecen a la familia de los équidos con pelajes a rayas blancas y negras. Viven en toda la zona sureste de América y se les observa en ambientes como matorrales, llanuras, bosques y lugares montañosos. Las rayas de las cebras americanas aparecen en formas distintas para cada individuo. Las cebras americanas miden aproximadamente 7,5 pies de largo, una altura de hombros de 4 pies y un peso de 600 libras. Tienen buena visión, buen oído y la capacidad de correr a una velocidad de 25 millas por hora. Las cebras son animales de instinto social que viven en un grupo familiar, incluido un macho de cebra, varias hembras y sus crías, como se muestra en la Fig. 1. Pasan tiempo en rebaños, se acicalan unos a otros y, para obtener pasto fresco, pastan alrededor. el semental líder de la familia, como se muestra en la Fig. 2. Las cebras siguen estrictamente las limitaciones sociales y no se aparean con los miembros de su familia. Las cebras sementales maduras viven en un solo grupo para encontrar una pareja adecuada para aparearse, mientras que las potras se unen a otros grupos. Los machos de cebra se unen a los grupos solitarios una vez que tienen edad suficiente para reproducirse, mientras que las hembras abandonan sus grupos de padres antes de llegar a la adolescencia. Este proceso de salida del grupo impide que los padres de las cebras se reproduzcan con sus crías para garantizar la diversidad requerida en AZOA. De manera similar, la convergencia está asegurada por el ejercicio de liderazgo en las cebras americanas para dirigir la velocidad y dirección del grupo68. El líder del grupo de sementales debe guiar al grupo hacia las mejores reservas de agua disponibles. El semental domina al otro grupo de cebras al hacer que los miembros del grupo utilicen fuentes de agua. Este estilo de vida social de las cebras es de naturaleza indígena y extremadamente fructífero para proponer una técnica metaheurística. Por lo tanto, basándose en esta fuente de inspiración, se está desarrollando un novedoso algoritmo metaheurístico llamado AZOA junto con su formulación matemática para lograr los desafíos de optimización global.

Cebras americanas en un grupo familiar.

Pastando alrededor del líder de la familia (semental).

Esta sección presenta el modelado matemático del comportamiento de la vida social de las cebras americanas al proponer el algoritmo AZOA. La actividad vital de las cebras americanas consta de 5 fases clave, que se enumeran a continuación:

Fase 1: Formación de grupos de cebras aleatorios.

Fase 2: Actividad alimentaria de las cebras americanas.

Fase 3: Actividad reproductiva de las cebras americanas

Fase 4: Liderazgo del grupo

Fase 5: Etapa de transición del liderazgo para seleccionar un nuevo líder

En la naturaleza, las cebras viven en varios grupos diferentes siguiendo al semental líder del grupo, lo que parece dividir a toda la población en múltiples grupos. Aquí, la notación 'P' representa la probabilidad de semental en toda la población 'S', y el número total 'N' de grupos se calcula mediante la fórmula \(N=S*P\). La posición de la \({i}\)ésima cebra en el \({j}\)ésimo grupo \({(Z}_{i,j\in N}=\left\{{Z}_{ij1}, {Z}_{ij2}, {Z}_{ij3},.....,{Z}_{ijn}\right\})\) para el espacio de búsqueda \(n\)-dimensional se calcula utilizando el fórmula \({Z}_{i,j}={(Z}_{max}-{Z}_{min})rand+{Z}_{min}\). Aquí, los puntos extremos superior e inferior del área de búsqueda están definidos por \({Z}_{max}\) y \({Z}_{min}\) respectivamente. El símbolo '\(rand\)' denota un valor aleatorio entre [0, 1]. Este mecanismo asegura \(N\) número de multitudes de cebras diferentes con un semental único en cada grupo. La imagen de muestra de la división de grupos de cebras se refleja en la Fig. 3.

Formación de grupos a partir de población original.

Las cebras son herbívoros y dependen principalmente de diversos pastos y hojas verdes. Obtener pasto fresco y hojas verdes es muy difícil para las cebras jóvenes, por lo que dependen del líder de la familia. Por lo tanto, las cebras siempre pastan juntas y se mueven alrededor del semental líder de la familia. Para modelar matemáticamente la actividad alimentaria de las cebras americanas, se proponen las siguientes ecuaciones.

donde \({Z}_{S}^{j}\) y \({Z}_{i,}^{j}\) representan la posición del semental y la \({i}\)ésima cebra de el \({j}\)ésimo grupo, respectivamente, \({N}_{j}\) representa el total de miembros en el \({j}\)ésimo grupo, \({R}_{1}\ ) indica un valor aleatorio uniforme entre [− 2, 2] que induce la alimentación de la cebra en múltiples ángulos de 360 ​​grados alrededor del líder del grupo, \({R}_{2}\) denota el parámetro adaptativo que se evalúa mediante Ec. (3), \({R}_{3}\) denota un valor aleatorio que se encuentra en [0, 1], las funciones \(\mathrm{Sin}\) y \(\mathrm{Cos}\) ayudan a movimiento de otros \({i}\)ésimos miembros en múltiples ángulos alrededor del líder de la familia69, \({\overline{Z} }_{i}^{j}\) representa la nueva actualización \({i}\ )ésima posición del miembro mientras se alimenta y, por último, \({\overline{F} }_{i}^{j}\) es su valor de aptitud de la \({i}\)ésima cebra.

Aquí, \(T\) y \(t\) denotan la iteración máxima y la iteración actual respectivamente.

Para el equilibrio adecuado de la cadena alimentaria, la presencia de animales en la parte inferior de la cadena alimentaria, como caballos, vacas, burros y cebras, en abundancia es fundamental. De ahí que estos animales se reproduzcan profusamente. Entre estos animales, el comportamiento de la cebra es completamente diferente y preserva la dignidad de la familia. No se reproducen con sus padres y hermanos. Por lo tanto, las cebras jóvenes abandonan a sus familias antes de la edad adulta y se unen a otra familia de cebras para reproducirse. Este mecanismo se presenta gráficamente en la Fig. 4 considerando tres grupos de cebras diferentes. Aquí, la cría de cebra del \({i}\)ésimo grupo tiene dos formas de elegir la nueva familia; es decir, la cría de cebra puede ir al \({j}\)ésimo grupo o al \({k}\)ésimo grupo. De manera similar, otras crías de cebra de cada grupo deben elegir un nuevo grupo como si ninguno de sus hermanos y hermanas hubiera estado allí alguna vez. Dado que estas crías de cebra no tienen vínculos familiares en su nuevo grupo, se reproducen sin ninguna restricción. Así, las crías de cebra de \(j\) y \(k\) identifican otros grupos y se reproducen allí. En este proceso, se preserva la decencia general de la familia, lo que ayuda a mantener la diversidad en el algoritmo AZOA. Para modelar la actividad reproductiva de las cebras, se han desarrollado las siguientes ecuaciones.

donde \({Z}_{i}^{a}\) representa la posición de la cebra bebé \(a\) del \({i}\)ésimo grupo, \({Z}_{j}^{b }\) denota la posición de la cebra \(b\) del \({j}\)ésimo grupo, \({Z}_{k}^{c}\) representa la posición de la cebra \(c\) de \ ({k}\)ésimo grupo, y \({Z}_{j}^{q}\) y \({Z}_{k}^{q}\) son la posición de la cebra \(q\) ) en el \({j}\)ésimo grupo y el \({k}\)ésimo grupo, respectivamente.

Actividad reproductiva de las cebras americanas.

Las cebras dan gran importancia al líder de la familia. El líder de la familia les busca pastizales verdes, hojas de árboles y cuerpos de agua. El líder suele luchar contra otras cebras rivales y proporciona buena comida y bebida a su familia. El grupo de las cebras, que es más fuerte que el otro grupo, conserva los derechos sobre el depósito de agua y los pastizales. Después de eso, otros podrán aprovecharlo. Este enfoque se modela utilizando las siguientes ecuaciones.

donde \({R}_{4}\) representa el número aleatorio uniforme que se encuentra en [− 2, 2], \({R}_{5}\) denota el parámetro adaptativo que está determinado por la ecuación. (8), \({R}_{6}\) representa un número aleatorio uniforme que se encuentra en [0, 1], \(WR\) denota las reservas de agua, \({Z}_{S}^{j} \) es la posición actual del \(j\)ésimo semental líder del grupo, \({\overline{Z} }_{S}^{j}\) es la siguiente posición del \(j\)ésimo semental líder del grupo, y \({\overline{F} }_{S}^{j}\) es su valor de aptitud del semental en el \(j\)ésimo grupo.

Es muy necesario que el grupo tenga un líder fuerte para que pueda mantener la disciplina de manera adecuada y también pueda organizar las fuentes de alimentos disponibles. Si en cualquier situación el líder del grupo se debilita, entonces es fundamental cambiar de líder. La siguiente fórmula se desarrolla para modelar la etapa de transición del liderazgo para seleccionar un nuevo líder.

donde \({Z}_{S}^{j}\) representa la posición actual del semental de los líderes del grupo \(j\) y \(F( {Z}_{S}^{j})\) es la valor físico del semental líder.

El pseudocódigo y el diagrama de flujo del algoritmo de optimización de cebra estadounidense se presentan en el Algoritmo 1 y en la Fig. 5, respectivamente.

Diagrama de flujo del algoritmo AZOA propuesto.

La complejidad del tiempo de ejecución de AZOA depende de tres procedimientos: inicialización, evaluación del valor de aptitud y actualización de los individuos. La complejidad computacional del proceso inicial con \(M\) individuos es O \((M)\), y la actualización del mecanismo es O (\(T*M\)) + O (\(T*M*d\ )), donde \(T\) representa iteraciones máximas y \(d\) denota dimensión de problemas específicos. Por lo tanto, la complejidad total del tiempo de ejecución de AZOA es O (\(M*\)(\(T+Td+1\))) que es similar a otros optimizadores.

En esta sección, se realizan varios experimentos para examinar la eficiencia del algoritmo AZOA recientemente propuesto mientras se compara con otras metaheurísticas como PSO, GWO, GSA, SSA, MVO, TSA y LFD. Aquí se emplean tres trajes de prueba destacados, a saber, CEC-200570, CEC-201771 y CEC-201972, junto con tres problemas de ingeniería que se deben resolver en los experimentos. Además, se realizan varias pruebas estadísticas como la prueba \(t\)73 y la prueba de suma de rangos de Wilcoxon74 para analizar el rendimiento del algoritmo. Para las pruebas de funciones de referencia, el número de agentes de búsqueda y evaluaciones de funciones (NFE) se establece en 30 y 15.000, respectivamente. Los parámetros de control iniciales de todos los algoritmos se muestran en la Tabla 4. Todos los experimentos se llevan a cabo en Windows 10, CPU de 1,70 GHz, 8,00 GB de RAM y MATLAB R2021a95. Las discusiones detalladas sobre el rendimiento del algoritmo AZOA en cada conjunto de pruebas de referencia se proporcionan en las siguientes subsecciones.

El CEC-2005 es el conjunto de pruebas estándar para investigadores en inteligencia computacional. El conjunto de pruebas ace contiene veintitrés funciones de referencia, que pueden clasificarse en tres grupos: unimodal (\(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}7\)), multimodal (\(\mathrm{F }8{-}\mathrm{F}13\)) y funciones multimodales de dimensión fija (\(\mathrm{F}14{-}\mathrm{F}23\)). La lista de todas las funciones de referencia, junto con sus parámetros, se presenta en las Tablas 1, 2 y 3. Generalmente, todos los algoritmos de optimización tienen dos fases: exploración y explotación. Una función de prueba unimodal comprende una solución óptima global única que ayuda a evaluar la capacidad de explotación de un algoritmo. Sin embargo, las funciones multimodales y multimodales de dimensión fija incluyen múltiples puntos óptimos que ayudan a probar la capacidad de exploración del algoritmo. Dos criterios de evaluación, la media \((avg)\) y la desviación estándar \((std)\), se determinan mediante las siguientes ecuaciones:

donde \({x}_{i}\) denota la mejor solución obtenida de la \(i\)ésima ejecución y \(R\) representa treinta ejecuciones independientes.

Los parámetros estadísticos \(avg\) y \(std\) cuantifican el rendimiento de un algoritmo. Cuanto menor sea el valor de \(avg\), mejor será la capacidad del algoritmo para obtener una solución cercana al óptimo global. Incluso si los dos algoritmos tienen el mismo valor \(avg\), su desempeño para obtener el óptimo global puede variar en cada generación. Como resultado, se emplea \(std\) para establecer una comparación más precisa. El \(std\) debe tener un valor bajo para tener menos variación en los resultados. Los resultados estadísticos en términos de promedio y desviación estándar de AZOA junto con su algoritmo comparado se presentan en la Tabla 5. La Tabla 5 demuestra que AZOA tuvo un mejor desempeño en todas las funciones unimodales excepto \(\mathrm{F}6\) que otros algoritmos comparados. en las capacidades de explotación. Los resultados de las funciones multimodales indican que AZOA es capaz de superar a otras metaheurísticas en términos de capacidad de exploración. Por otro lado, GSA y PSO tuvieron un desempeño admirable para las funciones \(\mathrm{F}8\) y \(\mathrm{F}13\), respectivamente. Los resultados de las funciones multimodales y de dimensión fija ilustran que AZOA funciona de manera más efectiva al optimizar \(\mathrm{F}14{-}\mathrm{F}16\) y \(\mathrm{F}20{-}\mathrm {F}23\). Sin embargo, es necesario probar estos resultados para verificar la significancia estadística entre los algoritmos. Por lo tanto, se requieren pruebas estadísticas imperativas, como la prueba \(t\) y la prueba de suma de rangos de Wilcoxon en \(\alpha\) = 0,05% de nivel significativo, para indicar una mejora significativa del algoritmo propuesto. Sean \({avg}_{1}\), \({avg}_{2}\) y \({std}_{1}\), \({std}_{2}\) los media y desviación estándar para los dos algoritmos, respectivamente. Los resultados de la prueba \(t\) en \(\alpha\) = 0,05% para cada función se presentan en la Tabla 5, que se calculan mediante la ecuación. (12). El análisis de sensibilidad del algoritmo AZOA propuesto se lleva a cabo en la Fig. 6.

Análisis de sensibilidad del algoritmo AZOA propuesto para los parámetros PC y SP.

Si el valor \(t\) correspondiente está en negrita, AZOA funciona significativamente mejor en comparación con otros algoritmos. En caso de empate, los resultados se muestran en negrita y cursiva. Además, las últimas filas de cada tabla, etiquetadas como \(w/t/l\), indican los recuentos de victorias, empates y derrotas de AZOA sobre cierto algoritmo en términos de valores \(t\). Claramente, a partir de los valores \(t\), se observa que el rendimiento de AZOA es una diferencia estadísticamente significativa en la mayoría de los casos. Los resultados de la prueba de suma de rangos de Wilcoxon de AZOA en \(\alpha\) = 0,05% de nivel significativo se presentan en la Tabla 6. Aquí, \(\mathrm{H}=\) \(1\) y \(\ mathrm{H }= 0\) indican aceptación y rechazo, respectivamente, mientras que \(Na\) indica los valores óptimos equivalentes de los dos algoritmos. En la Tabla 6 se observa que la mayoría de los valores de \(p\) son menores que 0,05, lo que muestra claramente que el algoritmo AZOA funciona superiormente en comparación con otras metaheurísticas. Después de las pruebas estadísticas, es necesario comprobar el gráfico de convergencia de los algoritmos. El principal objetivo detrás del análisis de convergencia es comprender el comportamiento y la representación gráfica del algoritmo AZOA propuesto. Por lo tanto, las curvas de convergencia de los algoritmos para algunas funciones de prueba se presentan en la Fig. 7. Como se ve en las curvas de convergencia, el algoritmo propuesto en funciones \(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}4\) Sigue un cierto patrón suave, que da más énfasis a la explotación. En las funciones \(\mathrm{F}8\), \(\mathrm{F}9\), \(\mathrm{F}11\) y \(\mathrm{F}22\), el algoritmo propuesto sigue un patrón diferente que tiene muchos puntos óptimos. Se centra más en las fases de exploración que se logran en las primeras fases del algoritmo. Sin embargo, en las últimas fases del algoritmo, que generalmente es la fase de explotación, el AZOA se ha realizado paso a paso para las funciones \(\mathrm{F}10\) y \(\mathrm{F}12\). En las funciones \(\mathrm{F}14\), \(\mathrm{F}15\), \(\mathrm{F}20\) y \(\mathrm{F}23\), el algoritmo propuesto logra una convergencia comparable. Como resultado, la AZOA exhibe un patrón de convergencia superior en casi todas las funciones. Para analizar más a fondo y comparar gráficamente el rendimiento de las técnicas de optimización, en la Fig. 8 se muestra el diagrama de caja de bigotes75 para cada función metaheurística y objetivo. El cuadro central representa el valor entre el primer y tercer cuartil y la línea negra denota la mediana. Se puede observar en la Fig. 8 que AZOA funciona mejor que las otras metaheurísticas de última generación. También demuestra que AZOA tiene un mejor rendimiento y una capacidad de convergencia superior en los procesos de exploración y explotación de componentes. En resumen, dependiendo de los resultados y análisis del desempeño de los algoritmos en CEC-2005, el algoritmo AZOA propuesto es capaz de obtener soluciones superiores para la mayoría de las funciones de prueba y produce resultados estáticamente significativamente mejores que otras metaheurísticas.

Gráfico de convergencia de AZOA y otras metaheurísticas en la resolución de funciones de referencia CEC-2005.

Diagramas de caja de AZOA y otras metaheurísticas para resolver el punto de referencia CEC-2005.

El algoritmo propuesto, denominado AZOA, emplea dos parámetros: parámetro PC (probabilidad de cruce) y parámetro SP (probabilidad de semental o número de grupos). El análisis de sensibilidad de estos parámetros se ha explicado cambiando sus valores manteniendo constantes los demás parámetros, como se muestra en la Tabla 4.

Para examinar el impacto del parámetro PC, se realizó el algoritmo AZOA para varios valores de PC manteniendo constantes los demás parámetros. Los diferentes valores de PC probados en experimentación son 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 y 0,5. La variación de la PC en las funciones de referencia estándar se muestra en la Fig. 6 (i). Los resultados revelan que cuando el valor de PC se establece en 0,1, AZOA produce mejores resultados óptimos (Tablas 5, 6).

Para examinar el impacto del parámetro SP, se realizó el algoritmo AZOA para varios valores de SP manteniendo constantes los demás parámetros. Los diferentes valores de PC probados en experimentación son 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 y 0,5. La variación de SP en las funciones de referencia estándar se muestra en la Fig. 6 (ii). Los resultados revelan que cuando el valor de SP se establece en 0,1, AZOA produce mejores resultados óptimos.

En esta sección, se emplean las funciones del conjunto de pruebas CEC-2017 para evaluar la eficiencia y la capacidad del AZOA recientemente propuesto. El conjunto de pruebas contiene treinta funciones de las cuales la función \(\mathrm{F}2\) está excluida debido a la dificultad de simulación. Las funciones CEC-2017 se clasifican en cuatro grupos, a saber, unimodales (\(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}3\)), multimodales (\(\mathrm{F}4{-}\mathrm {F}10\)), híbrido (\(\mathrm{F}11{-}\mathrm{F}20\)) y composición (\(\mathrm{F}21{-}\mathrm{F} 30\)). Las funciones híbridas y compuestas reflejan funciones de optimización más desafiantes con espacios de búsqueda dinámica que se han utilizado para estudiar el equilibrio entre la exploración y la explotación del algoritmo. En esta función de prueba, la dimensión se fija en \(10\) y los tiempos de ejecución de todos los algoritmos se consideran 30, junto con 500 generaciones, para un total de 150.000 evaluaciones de funciones numéricas (NFE). Los resultados estadísticos de AZOA en las funciones objetivo de CCA-2017 se presentan en la Tabla 7, y los mejores resultados están resaltados en negrita. La Tabla 7 muestra que el algoritmo propuesto tiene un buen desempeño en problemas unimodales y multimodales, así como la capacidad de identificar la solución óptima global de forma continua. Además, muestra que el algoritmo AZOA funcionó bien en comparación con otros algoritmos existentes sobre funciones híbridas. Además, los resultados del cuarto grupo de funciones de la CCA-2017 muestran que la AZOA produce resultados competitivos en las funciones de composición. Sin embargo, comparar algoritmos metaheurísticos en función de sus valores \(ave\) y \(std\) no es concluyente. Por lo tanto, se presentan la prueba \(t\) y la prueba de suma de rangos de Wilcoxon y en \(\alpha\) = 0,05% de nivel significativo para demostrar una diferencia significativa en AZOA. Los valores \(t\) en \(\alpha\) = 0,05% de nivel de significancia mediante la prueba \(t\) se presentan en la Tabla 7 para confirmar la presencia de diferencias significativas en AZOA con respecto a los algoritmos comparados. Si el valor \(t\) correspondiente está en negrita, los AZOA funcionan significativamente mejor en comparación con otros algoritmos. En caso de empate, los resultados se muestran en negrita y cursiva. Además, \(w/t/l\) se ha etiquetado en las últimas filas de la Tabla 7, lo que indica los recuentos de victorias, empates y derrotas de AZOA sobre ese determinado algoritmo en términos de valores \(t\). Claramente, en la Tabla 7, se observa que AZOA tiene una diferencia significativa con respecto a otros algoritmos. Los valores de \(p\) en \(\alpha\) = 0,05% de nivel significativo según la prueba de suma de rangos de Wilcoxon se presentan en la Tabla 8 para funciones unimodales, multimodales y multimodales de punto fijo, respectivamente. Estas tablas muestran que los valores de \(p\) son inferiores a 0,05. Esto muestra claramente que el algoritmo cebra americano funciona mejor en comparación con otros algoritmos metaheurísticos. Las gráficas convergentes de los algoritmos implementados se muestran en la Fig. 9. Al observar todas estas curvas, queda claro que AZOA muestra la rápida convergencia de las funciones \(\mathrm{F}1\), \(\mathrm{ F}10\), \(\mathrm{F}12\), \(\mathrm{F}13\), \(\mathrm{F}15\), \(\mathrm{F}18\), \(\mathrm{F}19\), y \(\mathrm{F}30\) y una convergencia comparable para las funciones \(\mathrm{F}3\), \(\mathrm{F}4\) , \(\mathrm{F}11\), \(\mathrm{F}14\) y \(\mathrm{F}15\). Como resultado de esta observación, AZOA puede considerarse como uno de los algoritmos confiables. En la Fig. 10, el desempeño de los algoritmos metaheurísticos y el AZOA propuesto para resolver las funciones \(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}30\) se presenta como un diagrama de caja. Al optimizar la mayoría de las funciones \(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}30\), este estudio de diagrama de caja indica que AZOA tiene un ancho menor y un centro más eficiente que los algoritmos metaheurísticos de la competencia. Esto sugiere que AZOA ha proporcionado soluciones que son casi idénticas en múltiples implementaciones. Como resultado, AZOA puede ofrecer soluciones más efectivas para desafíos óptimos. El análisis de los resultados de optimización de CEC-2017 demuestra que AZOA funciona mejor que los siete algoritmos comparados.

Gráfico de convergencia de AZOA y otras metaheurísticas en la resolución de funciones de referencia CEC-2017.

Diagramas de caja de AZOA y otras metaheurísticas para resolver funciones de referencia CEC-2017.

Esta subsección calcula el rendimiento del algoritmo comparado utilizando las nuevas funciones de referencia propuestas por CEC-2019. Para todos los algoritmos, el tamaño de la población se considera 30 con 500 iteraciones y un máximo de 15.000 evaluaciones de funciones. Sus resultados se comparan con el mismo algoritmo que se empleó en la parte anterior. Los resultados estadísticos como \(avg\) y \(std\) se presentan en la Tabla 9. Según el valor \(avg\), los resultados de la Tabla 9 muestran que el nuevo algoritmo funciona mejor para resolver las funciones de referencia en comparación con otro algoritmo. Los valores \(t\) en \(\alpha\) = 0,05% de nivel significativo se presentan en la Tabla 9 para verificar la diferencia significativa entre los algoritmos. Claramente, en la Tabla 9, se observa que AZOA tiene una diferencia significativa con respecto a otros algoritmos. Los valores de \(p\) obtenidos por la prueba de suma de rangos de Wilcoxon en \(\alpha\) = 0,05% significativos se presentan en la Tabla 10. La Tabla 10 muestra que los valores de \(p\) son menores que 0,05. Esto muestra claramente que el algoritmo de optimización cebra estadounidense funciona bien en comparación con otros algoritmos metaheurísticos.

La gráfica convergente de los algoritmos que se han implementado se muestra en la Fig. 11. De estas curvas se desprende claramente que el AZOA exhibe la convergencia más rápida para las funciones \(\mathrm{F}1\), \(\mathrm{F }4\), \(\mathrm{F}5\), y \(\mathrm{F}7\) y una convergencia comparable para las funciones \(\mathrm{F}2\), \(\mathrm{ F}3\), \(\mathrm{F}8\) y \(\mathrm{F}9\). En la Fig. 12, el diagrama de caja de los algoritmos comparados junto con el AZOA propuesto para resolver las funciones se presenta como un diagrama de caja. En la Fig. 12, el estudio del diagrama de caja indica que AZOA tiene un ancho menor y un centro más eficiente que los algoritmos metaheurísticos de la competencia. Esto muestra que AZOA ha proporcionado soluciones que son casi idénticas en múltiples implementaciones. Como resultado, AZOA puede ofrecer soluciones más efectivas para desafíos óptimos.

Gráfico de convergencia de AZOA y otras metaheurísticas en la resolución de funciones de referencia CEC-2019.

Diagramas de caja de AZOA y otras metaheurísticas para resolver funciones de referencia CEC-2019.

En esta subsección, el rendimiento del método AZOA propuesto se compara con el de los cuatro algoritmos destacados más recientes, a saber, el algoritmo de fertilidad de tierras agrícolas (FFA)57, la optimización de gacelas de montaña (MGO)48, el algoritmo de optimización de buitres africanos (AVOA)42 y Optimizador de tropas de gorilas artificiales (GTO)47. El método AZOA propuesto y estos cuatro algoritmos destacados más recientes se implementan en las funciones de referencia CEC-2005, CEC-2017 y CEC-2019.

Los resultados de la simulación de las funciones de referencia de CEC-2005 se presentan en las Tablas 11 y 12. Según los resultados de la simulación, el método AZOA propuesto es el tercer mejor optimizador en comparación con los cuatro algoritmos destacados más recientes para resolver \(\mathrm{F}1 {-}\mathrm{F}4\),\(\mathrm{F}7\), \(\mathrm{F}9{-}\mathrm{F}11\), \(\mathrm{F} Funciones 14{-}\mathrm{F}19\) y \(\mathrm{F}21{-}\mathrm{F}23\). Las curvas de convergencia de AZOA y los cuatro algoritmos destacados más recientes mientras se logra la solución durante las iteraciones del algoritmo se representan en la Fig. 13. Los resultados de la simulación revelaron que el método propuesto, es decir, AZOA con altas capacidades de explotación, exploración y equilibrio, tenía un rendimiento superior cuando en comparación con FFA y MGO y un rendimiento comparable con AVOA y GTO. Además, los resultados de la prueba estadística de rango de suma de Wilcoxon divulgan la importante superioridad estadística de AZOA frente a los dos últimos algoritmos destacados, a saber, FFA, MGO y AZOA. En la Fig. 14 se muestran los diagramas de caja del desempeño de AZOA y los algoritmos de la competencia para resolver las funciones del conjunto de referencia CEC-2005. El análisis de los resultados del diagrama de caja demuestra que el método AZOA propuesto, al tratar con \(\mathrm{F}1{ -}\mathrm{F}4\), \(\mathrm{F}7\), \(\mathrm{F}9{-}\mathrm{F}11\), \(\mathrm{F}14 Las funciones {-}\mathrm{F}19\) y \(\mathrm{F}21{-}\mathrm{F}23\) son el tercer mejor optimizador en comparación con algoritmos rivales.

Gráfico de convergencia de AZOA y cuatro metaheurísticas destacadas más recientes para resolver funciones de referencia CEC-2005.

Diagramas de caja de AZOA y cuatro metaheurísticas destacadas más recientes para resolver funciones de referencia CEC-2005.

Los resultados estadísticos de las funciones de referencia de CEC-2017 que emplean AZOA y los cuatro algoritmos destacados más recientes se presentan en las Tablas 13 y 14. Lo que se concluye de los resultados de la simulación es que el método AZOA propuesto proporcionó mejores resultados en comparación con AVOA para \( \mathrm{F}1\), \(\mathrm{F}3\), \(\mathrm{F}5{-}\mathrm{F}9\), \(\mathrm{F}11\) , \(\mathrm{F}14{-}\mathrm{F}17\) y \(\mathrm{F}19{-}\mathrm{F}29\) y ofrecen resultados equivalentes en comparación con FFA y MGO. En la Fig. 15 se presentan las curvas de convergencia de AZOA y los cuatro algoritmos destacados más recientes mientras se logra la solución para las funciones CEC-2005 durante las iteraciones del algoritmo. El análisis de los resultados de la simulación muestra que el método AZOA propuesto ha proporcionado un mejor rendimiento para las funciones \ (\mathrm{F}1\), \(\mathrm{F}13\) y \(\mathrm{F}30\) y rendimiento comparable para otras funciones. En la Fig. 16 se muestran los diagramas de caja del desempeño de AZOA y los algoritmos de la competencia para resolver las funciones del conjunto de referencia CEC-2017.

Gráfico de convergencia de AZOA y cuatro metaheurísticas destacadas más recientes para resolver funciones de referencia CEC-2017.

Diagramas de caja de AZOA y cuatro metaheurísticas destacadas más recientes para resolver funciones de referencia CEC-2017.

Los resultados de la optimización de las funciones de referencia de CEC-2019 que emplean AZOA y los cuatro algoritmos destacados más recientes se presentan en las Tablas 15 y 16. En primer lugar, cuando se compara AZOA con FFA, proporciona el mejor resultado para las funciones \(\mathrm{F}2 {-}\mathrm{F}4\), \(\mathrm{F}6{-}\mathrm{F}8\) y \(\mathrm{F}10\). En segundo lugar, proporcionó un mejor resultado para las funciones \(\mathrm{F}2,\) \(\mathrm{F}3\), \(\mathrm{F}6\), \(\mathrm{F}7 \), y \(\mathrm{F}10\) en comparación con MGO. En tercer lugar, AZOA proporciona mejores resultados en comparación con AVOA, excepto para las funciones \(\mathrm{F}1\), \(\mathrm{F}4\), \(\mathrm{F}6\) y \(\mathrm {F}8\). Por último, AZOA ofrece los mejores resultados para las funciones \(\mathrm{F}2\), \(\mathrm{F}3\), \(\mathrm{F}7\), \(\mathrm{F}8 \), y \(\mathrm{F}10\). Por lo tanto, AZOA funciona mejor en comparación con los cuatro algoritmos destacados más recientes. El gráfico convergente de los algoritmos que se han implementado se muestra en la Fig. 17. De estas curvas se desprende claramente que el AZOA realiza una convergencia comparable para la mayoría de las funciones. En la Fig. 18, el diagrama de caja de los algoritmos comparados junto con el AZOA propuesto para resolver las funciones se presenta como un diagrama de caja. En la Fig. 18, el estudio del diagrama de caja indica que AZOA tiene un ancho menor y un centro más eficiente que los algoritmos metaheurísticos de la competencia.

Gráfico de convergencia de AZOA y cuatro metaheurísticas destacadas más recientes para resolver funciones de referencia CEC-2019.

Diagramas de caja de AZOA y cuatro metaheurísticas destacadas más recientes para resolver funciones de referencia CEC-2019.

En esta parte, el AZOA se evalúa en problemas de ingeniería de la vida real, que presentan una variedad de desafíos, como restricciones, números enteros mixtos, etc. Estos problemas de optimización de ingeniería restringidos (en el caso de minimización) se pueden representar de la siguiente manera:

donde \({g}_{i}\) y \({h}_{j}\) representan las restricciones de desigualdad e igualdad, respectivamente. \({R}^{n}\) denota el espacio vectorial \(n\)-dimensional sobre el campo real. El objetivo de AZOA es encontrar la mejor solución factible que minimice la función de costos \(f(\overrightarrow{z})\) sujeta a restricciones. Para manejar todas estas restricciones en AZOA, se utiliza la función de penalización. El enfoque de la función de penalización se aplica para redefinir el problema de optimización de ingeniería restringida. Como resultado, en la Ec. (\(14\)) la optimización de estos problemas de ingeniería aplicando AZOA se expresa como:

donde \(S\) denota un espacio de búsqueda factible. Al aplicar este enfoque, a los individuos que violan cualquier restricción en cualquier nivel se les asigna un valor óptimo de función grande. Como resultado, durante toda la fase de optimización, el algoritmo eliminará automáticamente las soluciones inviables. De esta manera, al aplicar una función de penalización, un problema restringido se puede convertir en un problema no restringido.

La idea clave detrás de este diseño de ingeniería es minimizar el peso del resorte considerando tres restricciones de desigualdad no lineales y una lineal. La figura geométrica del resorte se ve en la Fig. 19. Este problema de ingeniería tiene tres variables de decisión continuas, incluido el diámetro del alambre (\(d\) o \({z}_{1}\)), el diámetro medio de la bobina (\ (D\) o \({z}_{2}\)), y el número de bobinas activas (\(K\) o \({z}_{3}\)). La expresión matemática del diseño se presenta a continuación:

Problema de diseño de resortes de tensión o compresión.

Los resultados del AZOA recientemente propuesto se comparan con algoritmos metaheurísticos bien conocidos que han abordado con éxito este problema, incluidos PSO, GSA, SSA, TSA, MVO, GWO y LFD. Los resultados de esta comparación se muestran en la Tabla 17 y muestran que AZOA es capaz de generar soluciones efectivas y diseñar bien.

El objetivo principal de este problema de diseño es reducir el precio general de un recipiente a presión, lo que incluye los costos de soldadura, conformado y materiales, como se ilustra en la Fig. 20. Este diseño de optimización tiene cuatro variables de diseño como el espesor de la carcasa (\ ({z}_{1}\) o \(Ts\)), el espesor de la cabeza (\({z}_{2}\) o \(Th\)), el radio interior (\({z }_{3}\) o \(R\)), y la longitud de la porción cilíndrica del recipiente (\({z}_{4}\) o \(L\)). Entre esta variable de cuatro diseños, \({z}_{3}\) y \({z}_{4}\) son continuas, mientras que \({z}_{1}\) y \({ z}_{2}\) son discretos (múltiplos enteros de 0,0625 pulgadas). Matemáticamente, el recipiente a presión se expresa de la siguiente manera:

Problema de diseño de recipientes a presión.

Los resultados de AZOA se comparan con algoritmos metaheurísticos bien conocidos, incluidos PSO, GSA, SSA, TSA, MVO, GWO y LFD. Los resultados de esta comparación se muestran en la Tabla 18, que ilustra que AZOA produjo los mejores resultados al abordar este problema al reducir el costo total del recipiente a presión cilíndrico.

El objetivo de este diseño es abaratar al máximo el precio de las vigas soldadas. El diagrama de la viga soldada se muestra en la Fig. 21. Este problema de optimización contiene 4 variables de decisión como la altura de la barra \(({z}_{3} o t)\), el espesor de la barra \(({ z}_{4} o b)\), el espesor de la soldadura \(({z}_{1} o h)\) y la longitud de la porción conectada de la barra, \(( {z}_{2} o l ).\) Se define la siguiente fórmula matemática para diseñar este problema.

donde \(\tau \left( {\vec{z}} \right) = \sqrt {(\tau^{\prime } )^{2} + 2\tau^{\prime}\tau^{\prime \prime } \frac{{z_{2} }}{2R} + (\tau^{\prime \prime } )^{2} } , \tau^{\prime} = \frac{P}{{\ raíz cuadrada 2 z_{1} z_{2} }}, \tau^{\prime \prime } = \frac{MR}{J}\)

donde \(P=6000lb, L=14in, E=30*{10}^{6}psi, G=12*{10}^{6}psi, {\tau }_{max}=\mathrm{13,600 }psi, {\sigma }_{max}=\mathrm{30,000}psi, {\delta }_{max}=0.25in\).

Problema de diseño de vigas soldadas.

La Tabla 19 muestra los resultados de una comparación del AZOA con varios algoritmos metaheurísticos que emplean la misma función de penalización. Los resultados demuestran que el método AZOA tiene un rendimiento superior a la hora de localizar los valores óptimos para el diseño de vigas soldadas.

En los sistemas mecánicos, una de las piezas clave de la caja de cambios es el reductor de velocidad, y puede aplicarse para numerosos fines. El peso del reductor de velocidad se reducirá con 11 restricciones en este problema de optimización. Este problema tiene siete variables como el ancho de la cara \(b\left({z}_{1}\right)\), el módulo de dientes \(m\left({z}_{2}\right)\), el número de dientes en el piñón \(x\left({z}_{3}\right)\), longitud del primer eje entre rodamientos \({l}_{1}\left({z}_{ 4}\right)\), la longitud del segundo eje entre los rodamientos \({l}_{2}\left({z}_{5}\right)\), el diámetro de los primeros ejes \({d} _{1}\left({z}_{6}\right)\), y el diámetro de los segundos ejes \({d}_{2}\left({z}_{7}\right)\) como se revela en la Fig. 22. La formulación matemática del problema del reductor de velocidad es la siguiente.

Problema de diseño del reductor de velocidad.

La Tabla 20 muestra los resultados del algoritmo propuesto y su comparación con otros algoritmos, como GWO, GSA, PSO, SSA, TSA, MVO y LFD en este problema. Los resultados de la simulación revelan que el método propuesto, concretamente AZOA, superó a otros algoritmos.

El objetivo principal de este problema estructural es minimizar la relación de transmisión para la fabricación de un tren de engranajes compuesto como se muestra en la Fig. 23.

Problema de diseño del tren de engranajes.

El objetivo es determinar el número óptimo de dientes para cuatro engranajes de un tren con el fin de minimizar la relación de transmisión. La variable de diseño que es igual al número de dientes de los engranajes es: \({n}_{A}\left({z}_{1}\right)\), \({n}_{B} \left({z}_{2}\right)\), \({n}_{C}\left({z}_{3}\right)\), y \({n}_{D }\izquierda({z}_{4}\derecha)\). La formulación matemática del problema de diseño del tren de engranajes es la siguiente.

Los resultados del algoritmo propuesto, concretamente AZOA, y su comparación con otros algoritmos metaheurísticos como MFO35, ABC76, PSO32, CS77, MVO25, TSA41 y WOA36 se proporcionan en la Tabla 21. Los resultados de la simulación en la Tabla 21 muestran que AZOA supera al algoritmo comparado.

El objetivo del diseño de armaduras es reducir el peso de las construcciones de barras. La Figura 24 presenta la estructura gráfica de este problema. El volumen de una armadura de 3 barras cargada estáticamente se debe reducir mientras se mantienen las restricciones de tensión \(\left(\upsigma \right)\) en cada miembro de la armadura. El objetivo principal es encontrar las mejores áreas de sección transversal, \({\mathrm{A}}_{1}\left({\mathrm{z}}_{1}\right)\) y \({\ mathrm{A}}_{2}\left({\mathrm{z}}_{2}\right)\). La formulación matemática de este problema de diseño es la siguiente.

Problema de diseño de armadura de tres barras.

La Tabla 22 muestra los resultados del algoritmo propuesto y su comparación con otros algoritmos, como GOA38, MBA79, PSO-DE78, SSA37, MVO25, TSA41 y AO43 sobre este problema. Los resultados demuestran que el método propuesto, concretamente AZOA, superó a los algoritmos comparados.

La energía eólica es la energía eléctrica generada aprovechando el viento mediante molinos o turbinas eólicas. Es uno de los tipos más destacados de fuentes de energía renovables, ya que es abundante y está presente en todas partes. Esta energía, cuando se usa adecuadamente, puede ayudarnos a generar mucha electricidad. La energía eólica ha adquirido popularidad recientemente en respuesta a la creciente demanda de electricidad. La producción total de energía de un parque eólico se puede maximizar empleando las turbinas eólicas en la mejor posición posible. Colocar un aerogenerador en un parque eólico es una operación difícil ya que se deben tener en cuenta aspectos como la pérdida de estela causada por los aerogeneradores aguas arriba a los aerogeneradores aguas abajo. Minimizar la pérdida de estela para aumentar la potencia de salida plantea un desafío para varios algoritmos de optimización aplicados a este problema de optimización del diseño. Por lo tanto, en esta sección, se emplea el algoritmo AZOA para encontrar la ubicación óptima de las turbinas eólicas y maximizar la producción de energía total con el mínimo costo por kilovatio. Se realizan dos estudios de caso diferentes tales como: velocidad del viento constante (CWS) con dirección del viento variable (VWD) y velocidad del viento variable (VWS) con dirección del viento variable (VWD). Los resultados experimentales se comparan con estudios realizados con L-SHADE80, GA81, GA82, GWO83, BPSO-TVAC84, RSA85 y SBO86. La modelización matemática del problema de diseño de un parque eólico se aborda a continuación.

A medida que el viento pasa a través de una turbina, la velocidad del viento disminuye y la fuerza de la turbulencia aumenta, dejando una estela detrás de la turbina. La estela no sólo sigue moviéndose río abajo, sino que también se infla lateralmente. Las turbinas colocadas aguas abajo generan menos energía debido al efecto de estela. En este estudio se utiliza el modelo de caída de estela lineal de Jensen87,88 para calcular la velocidad del viento en la zona de estela. La Figura 25 muestra el esquema del modelo de estela lineal. La velocidad del viento en la zona de la estela se estima suponiendo que el impulso se conserva en la estela. La velocidad del viento en la región de estela está dada por:

donde w denota el efecto de estela, \({w}_{0}\) denota la velocidad original del viento sin tener en cuenta ningún impacto de estela, a denota el factor de inducción axial, \({\beta }_{k}\) denota la constante de arrastre en relación con la turbina ktℎ, \({z}_{i,j}\) es la distancia entre la \({i}\)ésima y la \({j}\)ésima turbina, \ ({r}_{k1}\) es el radio del rotor aguas abajo, \({h}_{k}\) es la altura del cubo de la \({k}\)ésima turbina, \({z}_{ 0}\) denota la rugosidad de la superficie del parque eólico, \({C}_{r}\) es el coeficiente de empuje del rotor de la turbina eólica.

Modelo de estela lineal de Jensen.

Cuando una sola turbina encuentra numerosas estelas, se cree que la energía cinética de la estela combinada es equivalente al total de los déficits de energía cinética.

La velocidad resultante de la \({i}\)ésima turbina aguas abajo de las \({N}_{x}\) turbinas viene dada por:

donde \({w}_{ik}\) denota la velocidad del viento de la \({i}\)ésima turbina bajo el impacto de la \({k}\)ésima turbina. Para el modelo de estela lineal, la región de estela es cónica y el radio de la zona de estela se define como el radio de influencia de la estela determinado por:

La potencia producida por la \({i}\)ésima turbina en \(kW\) viene dada por:

donde \(\rho\) representa la densidad del aire y \({C}_{p}\) es la eficiencia del rotor.

La producción de energía total de un parque eólico con \(N\) turbinas se calcula mediante la ecuación. (29).

dónde

El costo por \(kW\) de la potencia de salida se calcula mediante:

dónde

La eficiencia del parque eólico se calcula mediante la fórmula:

donde \({P}_{i,max}\) representa la potencia máxima de salida de la \({i}\)ésima turbina en función de la velocidad máxima del viento \({w}_{i, max}\ ) si no hubiera efecto de estela y \({f}_{m}\) representa la probabilidad de una velocidad particular del viento desde una dirección específica.

Este trabajo se basa en el análisis de un parque eólico de 10×10 cuadrados con 100 posibles lugares para aerogeneradores. Todas las turbinas eólicas se desplegaron en el centro del cubículo. La dimensión de cada cubículo es de 200 m, como se representa en la Fig. 26. La selección del cubículo, que era igual al diámetro del rotor, evitó que la estela golpeara a las otras turbinas cuando estaba colocada en una columna con otra columna adyacente. . Los parámetros para el parque eólico empleado en este estudio se enumeran en la Tabla 23. El método propuesto, concretamente el algoritmo AZOA, se implementa en ambos estudios de caso (CWS con VWD y VWS con VWD), y los resultados se comparan con otros algoritmos existentes. , incluidos L-SHADE80, GA81, GA82, GWO83, BPSO-TVAC84, RSA85 y SBO86. Cada algoritmo se modela empleando un tamaño de población de 200 y un número máximo de 100 iteraciones. El límite superior y el límite inferior se asignan como 1 y 0, respectivamente, mientras que el tamaño del problema se asigna a 100.

Topología del parque eólico.

En el primer caso, se asumió un CWS de 12 m por segundo con la misma probabilidad de que el viento fluyera desde cada dirección investigando 36 ángulos que van desde \({0}^{^\circ }\) hasta \({360}^ {^\circ }\) grados en \({10}^{^\circ }\) incrementos. En este caso se emplea el AZOA propuesto, y los resultados del algoritmo AZOA y su comparación con los otros algoritmos metaheurísticos se proporcionan en la Tabla 24. En la Tabla 24, se observa que AZOA supera al algoritmo comparado para la misma función objetivo. La Figura 27 muestra la configuración óptima del parque eólico identificada por AZOA. El algoritmo AZOA propuesto genera una potencia anual de 17.920 kW a partir de 40 turbinas a un coste por kW de 0,0015340 y una eficiencia del 86,42%.

Configuración óptima del parque eólico por parte de AZOA para CWS con VWD.

Para verificar la eficiencia del método propuesto para la ubicación óptima de un parque eólico en el caso 2, se supone VWS y VWD. En este caso se consideran 8 m/s, 12 m/s y 17 m/s con 36 ángulos que van desde 0° a 360° grados en incrementos de 100°. En este caso se emplea el AZOA propuesto, y los resultados del algoritmo AZOA y su comparación con los otros algoritmos metaheurísticos se proporcionan en la Tabla 25. En la Tabla 25, se observa que AZOA supera al algoritmo comparado para la misma función objetivo. La Figura 28 muestra la configuración óptima del parque eólico identificada por AZOA. El algoritmo AZOA propuesto genera una potencia anual de 32.556 kW a partir de 39 turbinas a un coste/kW de 0,00083218 y una eficiencia del 86,78%.

Configuración óptima del parque eólico por parte de AZOA para VWS con VWD.

Finalmente, los resultados obtenidos revelan la eficiencia y validez del algoritmo AZOA en la configuración óptima de turbinas en un parque eólico para ambos estudios de caso, ya que el algoritmo proporcionó mejores resultados en comparación con otros algoritmos.

En el ámbito de los sistemas eléctricos, el ELD es uno de los problemas destacados por los investigadores. El objetivo principal del problema es asignar la energía requerida entre las unidades generadoras disponibles de la manera más eficiente posible para reducir los costos generales de combustible y al mismo tiempo mantener la demanda de carga y las diversas limitaciones operativas de todas las unidades de energía89,90. El costo total de combustible de los generadores generalmente se expresa mediante una función cuadrática de la siguiente manera:

donde \({u}_{i},v, {w}_{i}\) son los coeficientes de costo del \({i}\)ésimo generador, \({F}_{i}\) es el costo del generador \({i}\), \({p}_{i}\) es la potencia generada del \({i}\)ésimo generador y \(N\) son los generadores totales. Normalmente, el suministro agregado de energía producida por los generadores es más que suficiente para satisfacer tanto la cantidad requerida como la pérdida total de la línea de transmisión. Por tanto, es necesario satisfacer los siguientes criterios de igualdad:

Aquí, \({p}_{d}\) y \({p}_{l}\) representan la demanda y la pérdida total de transmisión de la línea, respectivamente. La fórmula de pérdida de Kron se emplea para determinar la pérdida de transmisión en la forma que se muestra a continuación.

En este contexto, los términos \(B\) \({B}_{ij}, {B}_{i0}\) y \({B}_{00}\) se denominan coeficientes de pérdida. La potencia total producida por los generadores está circunscrita por su respectiva potencia activa máxima \({p}_{max}\) y la potencia mínima \({p}_{min}\) debido a las capacidades y limitaciones de los generadores. . Como resultado, cada generador debe cumplir con los criterios siguientes.

Sea \({F}_{i}\) el costo de producir energía en el \({i}\)ésimo generador. Entonces, el costo total \(C\) se demarca como \(\sum_{i=1}^{N}{F}_{i}\). La función de costos está influenciada principalmente por la energía generada real \({p}_{i}\). Por lo tanto, \({p}_{i}\) es la única variable utilizada para estimar el costo individual \({F}_{i}\) de las unidades generadoras y el costo total \(C\) se puede articular como \(\sum_{i=1}^{N}{F}_{i}\left({p}_{i}\right)\).

La estructura de un sistema IEEE-30 con seis generadores se ilustra en la Fig. 29. En la Tabla 26, los coeficientes de costo \(({u}_{i}\), \({v}_{i}\) y Se informan \({w}_{i})\) y las restricciones límite (\({p}_{imin}\), \({p}_{imax})\) de los generadores. En la Tabla 27, se proporciona la matriz de coeficientes B para el sistema especificado. El problema planteado se resuelve a través de AZOA para determinar el despacho de carga más rentable para múltiples cargas distintas de 600 MW, 700 MW y 800 MW. Se comparan varios algoritmos conocidos con AZOA, incluida la iteración lambda91 y la programación cuadrática92, GA93 y PSO94. Las tablas 28, 29 y 30 demuestran los resultados de la comparación de algoritmos para necesidades de 600 MW, 700 MW y 800 MW, respectivamente. De estas Tablas se observa que el algoritmo propuesto AZOA proporcionó el mejor costo de combustible entre todos los algoritmos comparados.

Estructura de un sistema IEEE de 30 buses.

Este estudio ha desarrollado un novedoso algoritmo metaheurístico bioinspirado, llamado AZOA, inspirado en el comportamiento social de las cebras americanas en la naturaleza. La principal inspiración para este algoritmo propuesto es el carácter social único y fascinante y el ejercicio de liderazgo de las cebras americanas en la naturaleza, que obliga a las crías de cebra a abandonar la manada antes de la madurez y unirse a una manada separada sin relaciones familiares. Este proceso de salida del grupo impide que los padres de las cebras se reproduzcan con sus crías para garantizar la diversidad en AZOA. De manera similar, la convergencia está asegurada por el ejercicio de liderazgo en las cebras americanas para dirigir la velocidad y dirección del grupo. El concepto AZOA propuesto ha sido modelado y diseñado en cinco fases simples para una fácil implementación y un rendimiento superior. Para evaluar la eficiencia del algoritmo AZOA, se tienen en cuenta las funciones de referencia CEC-2005, CEC-2017 y CEC-2019 y se comparan con varios algoritmos evolutivos destacados existentes y más recientes. Los resultados de la simulación y el análisis estadístico revelan que AZOA es capaz de lograr las soluciones óptimas para funciones de referencia máximas manteniendo un buen equilibrio entre exploración y explotación. Además, se ha empleado un análisis de sensibilidad para acceder al rendimiento del AZOA propuesto. Además, la implementación de AZOA para resolver varios problemas de optimización de diseño de ingeniería aseguró la solidez del algoritmo propuesto en problemas de optimización del mundo real. Aunque el AZOA propuesto ha ofrecido un rendimiento superior en la mayoría de las funciones de referencia examinadas en este artículo, la superioridad de AZOA no es notable al manejar algunos problemas multimodales y compuestos frente a los algoritmos clásicos, y también obtuvo resultados mediocres frente a algoritmos contemporáneos como FFA. , MGO, AVOA y GTO. Por lo tanto, varias modificaciones, como la implementación de operadores de aprendizaje, la introducción de parámetros de peso adaptativos y el diseño de las versiones binaria y multimodal, son el alcance de futuros trabajos de investigación del algoritmo AZOA.

Todos los datos generados o analizados durante este estudio se incluyen en este artículo.

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Este trabajo de investigación está financiado por la Universidad VIT.

Instituto de Tecnología de Vellore, Vellore, Tamil Nadu, 632014, India

Sarada Mohapatra y Prabhujit Mohapatra

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SM: Conceptualización, Metodología, redacción—borrador original. PM: Conceptualización, Metodología, Supervisión, redacción: revisión y edición.

Correspondencia a Prabhujit Mohapatra.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Mohapatra, S., Mohapatra, P. Algoritmo de optimización de cebra estadounidense para problemas de optimización global. Representante científico 13, 5211 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-31876-2

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Recibido: 11 de enero de 2023

Aceptado: 20 de marzo de 2023

Publicado: 30 de marzo de 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-31876-2

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