Un algoritmo optimizador de equilibrio del moho limoso para la cinemática inversa del 7

Scientific Reports volumen 12, número de artículo: 9421 (2022) Citar este artículo

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Detalles de métricas

Para resolver eficientemente la cinemática inversa (IK) de manipuladores complejos, se propone un algoritmo híbrido optimizador de equilibrio del moho limoso (EOSMA). En primer lugar, el operador de actualización de concentración del optimizador de equilibrio se utiliza para guiar la búsqueda anisotrópica del algoritmo del moho limoso para mejorar la eficiencia de la búsqueda. Luego, se utiliza la estrategia codiciosa para actualizar el óptimo histórico individual y global para acelerar la convergencia del algoritmo. Finalmente, se agrega el operador de mutación de diferencia aleatoria a EOSMA para aumentar la probabilidad de escapar del óptimo local. Sobre esta base, se propone un EOSMA multiobjetivo (MOEOSMA). Luego, se aplican EOSMA y MOEOSMA al IK del manipulador de 7 grados de libertad en dos escenarios y se comparan con 15 algoritmos de objetivo único y 9 de objetivo múltiple. Los resultados muestran que EOSMA tiene mayor precisión y menor tiempo de cálculo que estudios anteriores. En dos escenarios, la precisión de convergencia promedio de EOSMA es 10e−17 y 10e−18, y el tiempo promedio de solución es 0,05 sy 0,36 s, respectivamente.

El problema de cinemática inversa (IK) consiste en determinar el ángulo de la articulación en función de la posición y postura del efector final del manipulador1. Es decir, el propósito es transferir con precisión el efector final a la posición y postura deseada2. Es uno de los problemas más fundamentales en la tecnología robótica y desempeña un papel esencial en el control del movimiento del robot, la planificación de trayectorias y el análisis dinámico3. Sin embargo, el IK de manipuladores redundantes es un problema complejo debido a ecuaciones no lineales4. Los métodos tradicionales para resolver cinemática inversa incluyen principalmente el método analítico y el método de iteración numérica5,6. El problema IK tiene una solución analítica para un manipulador que cumple con el estándar Pieper. Sin embargo, con el aumento de los tipos de manipuladores, muchos manipuladores no cumplen con el estándar Pieper, como los manipuladores serie-paralelo accionados por cable7 y los manipuladores serie superredundantes8. El CI de los manipuladores redundantes puede tener muchas soluciones grupales. Aun así, es difícil obtener soluciones satisfactorias mediante métodos tradicionales y el rendimiento en tiempo real es deficiente. Como resultado, es preferible resolver el IK del manipulador complejo utilizando un enfoque metaheurístico9. El algoritmo metaheurístico es un método aleatorio que constituye una alternativa exitosa a los métodos precisos para resolver problemas prácticos de optimización10,11. Las ventajas de las metaheurísticas incluyen la simplicidad del principio, la facilidad de implementación, la independencia del problema y las características sin gradientes12. Muchos algoritmos metaheurísticos, que incluyen la optimización de enjambre de partículas (PSO)9, el algoritmo de luciérnaga (FA)13, el algoritmo de colonia de abejas artificiales (ABC)14 y otros, se han aplicado eficazmente al CI de los manipuladores robóticos. Aunque estos algoritmos han logrado una excelente precisión de convergencia, a menudo no tienen en cuenta la postura del efector final, lo que reduce la complejidad del problema IK y es inconsistente con la mayoría de las aplicaciones prácticas.

El algoritmo del moho limoso (SMA) es un algoritmo metaheurístico único desarrollado por Li et al.15 en 2020. Debido a su capacidad para imitar el peculiar comportamiento oscilatorio de búsqueda de alimento del moho limoso y su notable rendimiento, el SMA se ha aplicado eficazmente en una amplia variedad de campos en menos de dos años. Por ejemplo, Abdel-Basset et al.16 y Ewees et al.17 aplicaron el SMA mejorado a problemas de selección de características; Abdel-Basset et al.18, Naik et al.19 y Zhao et al.20 utilizaron SMA híbrido y mejorado para resolver el problema de segmentación de imágenes (ISP); El-Fergany21, Kumar et al.22, Liu et al.23, Mostafa et al.24 y Yousri et al.25 utilizaron SMA híbrido y mejorado para estimar los parámetros de las células solares fotovoltaicas, respectivamente; Agarwal y Bharti26 aplicaron SMA mejorado a la planificación de trayectorias en el menor tiempo posible sin colisiones de robots móviles; Rizk-Allah et al.27 propusieron un SMA mejorado por oposición al caos (CO-SMA) para minimizar los costos de energía de las turbinas eólicas en sitios de gran altitud; Hassan et al.28 aplicaron SMA mejorado (ISMA) para resolver eficientemente problemas económicos y de despacho de emisiones (EED) con objetivos simples y duales; Abdollahzadeh et al.29 propusieron una SMA binaria para resolver el problema de la mochila 0–1; Zubaidi et al.30 combinaron SMA y redes neuronales artificiales (RNA) para predecir la demanda de agua urbana; Chen y Liu31 combinaron agrupación de medias K y SMA caótica con regresión de vector de soporte para obtener una mayor precisión de predicción; Ekinci et al.32 aplicaron SMA al diseño del estabilizador del sistema de potencia (PSSD); Wazery et al.33 combinaron AME y K-vecino más cercano para el sistema de clasificación y diagnóstico de enfermedades; Wei et al.34 propusieron un SMA mejorado en los sistemas de energía para un despacho óptimo de energía reactiva; Premkumar et al.35 y Houssein et al.36 desarrollaron SMA multiobjetivo (MOSMA) para resolver problemas complicados de diseño de ingeniería multiobjetivo en el mundo real; Yu et al.37 propusieron un SMA mejorado (WQSMA) que mejoraba la robustez del SMA original mediante el uso de una puerta de rotación cuántica (QRG) y un operador del ciclo del agua. Houssein et al.38 propusieron un algoritmo híbrido SMA y evolución diferencial guiada adaptativa (AGDE), que constituye una buena combinación de la capacidad de explotación de SMA y la capacidad de exploración de AGDE.

Aunque SMA se ha utilizado en muchos campos, no se ha aplicado al problema de IK. SMA, como la mayoría de los algoritmos metaheurísticos, sufre de pérdida de diversidad y convergencia prematura como resultado de un equilibrio inadecuado entre exploración y explotación (capacidad de exploración débil) durante el proceso iterativo de abordar problemas de optimización difíciles. Para mejorar la capacidad de búsqueda de SMA, se utiliza la estrategia de actualización del optimizador de equilibrio (EO) para reemplazar el operador anisotrópico de SMA para guiar la búsqueda de moho limoso de manera más eficiente. En segundo lugar, se utiliza la estrategia de selección codiciosa para preservar la ubicación óptima histórica individual y la búsqueda basada en la información del óptimo histórico individual para acelerar la convergencia del algoritmo. Finalmente, para aumentar la posibilidad de escapar del óptimo local y evitar el hacinamiento, se agrega al algoritmo un operador de mutación de diferencia aleatoria. En EOSMA, el operador de actualización de EO se beneficia de un equilibrio adecuado de exploración y explotación, el operador de búsqueda de SMA está a cargo de la explotación principal y el operador de mutación de diferencia aleatoria amplía el rango de búsqueda de los agentes de búsqueda durante la iteración manteniendo la población. diversidad. Para verificar la eficiencia de EOSMA en la solución del problema IK del manipulador complejo, se compara con el algoritmo del moho limoso (SMA)15, el optimizador de equilibrio (EO)39, la optimización del forrajeo de mantarrayas (MRFO)40 y el algoritmo de depredadores marinos (MPA)41. , algoritmo Pathfinder (PFA)42, algoritmo de polinización de flores (FPA)43, evolución diferencial (DE)44, optimizador basado en gradientes (GBO)45, optimización basada en enseñanza-aprendizaje (TLBO)46, optimización de Harris Hawks (HHO)47 , optimizador de lobo gris mejorado (IGWO)48, PSO híbrido y algoritmo de búsqueda gravitacional (PSOGSA)49, evolución diferencial basada en oposición de centroide (CODE)50, evolución diferencial basada en vectores de múltiples ensayos (MTDE)51, búsqueda esférica autoadaptativa algoritmo (SASS)52 y los resultados de estudios previos. Luego, se propone un EOSMA multiobjetivo (MOEOSMA) y se compara con MOSMA35, PSO multiobjetivo (MOPSO)53, MPA multiobjetivo (MOMPA)54, optimizador hormiga león multiobjetivo (MOALO)55, libélula multiobjetivo algoritmo (MODA)56, optimizador de lobo gris multiobjetivo (MOGWO)57, optimización multiverso multiobjetivo (MOMVO)58, algoritmo de enjambre de salpas multiobjetivo (MSSA)59, algoritmo evolutivo multiobjetivo basado en descomposición (MOEA /D)60 sobre el problema IK de un manipulador de 7 grados de libertad (DOF). Las principales contribuciones de este artículo son las siguientes:

Se desarrolló un EOSMA híbrido para mejorar la capacidad de búsqueda del algoritmo y equilibrar la exploración y la explotación;

Al introducir el mecanismo de archivo de soluciones no dominadas, se desarrolló una variante multiobjetivo de EOSMA (MOEOSMA);

Se aplicaron EOSMA y MOEOSMA al IK del manipulador redundante para validar el rendimiento del algoritmo y ampliar su rango de aplicación;

Se investigó la influencia de la postura del efector final en el problema del CI con el fin de proporcionar una referencia para los investigadores relevantes.

El resto de este trabajo está estructurado de la siguiente manera. La sección "Trabajos relacionados" proporciona una sinopsis de trabajos relevantes en la literatura. La sección "Preliminares" presenta los algoritmos SMA y EO, así como las nociones básicas de optimización multiobjetivo. La sección "El algoritmo EOSMA propuesto" describe en detalle los pasos de implementación de EOSMA y MOEOSMA. La sección “Análisis cinemático del manipulador” presenta la ecuación cinemática del manipulador. La función de aptitud para el problema IK se define en la Sección. “EOSMA para cinemática inversa”. La sección “Resultados experimentales y discusiones” informa y analiza los resultados experimentales. Finalmente, la Secta. “Conclusiones y direcciones futuras” concluye el artículo.

La cinemática inversa es un problema fundamental de la tecnología robótica, que desempeña un papel crucial en la planificación de la trayectoria del robot, el control del movimiento y el análisis dinámico61. Debido a que la ecuación cinemática inversa es altamente no lineal, el algoritmo tradicional tarda mucho en resolverse y es difícil obtener resultados ideales. Por lo tanto, investigadores anteriores desarrollaron una variedad de algoritmos metaheurísticos para abordar el problema IK de los manipuladores robóticos. Huang et al.62 emplearon PSO para abordar el problema IK de un manipulador robótico de 7 grados de libertad; Ram et al.63 utilizaron un enfoque PSO bidireccional para abordar el problema de IK causado por el cambio de posición del manipulador; Adly et al.64 propusieron versiones de objetivo único y multiobjetivo de PSO mejorado y verificaron el rendimiento del algoritmo en manipuladores robóticos de 5 y 7 grados de libertad; Ayyıldız y Çetinkaya65 resolvieron IK de un manipulador robótico en serie de 4 DOF utilizando GA, PSO, QPSO y GSA. Según los resultados, QPSO tiene el mejor desempeño en resolución de problemas; Dereli y Köker9 aplicaron QPSO para resolver el IK del manipulador en serie 7-DOF y lo compararon con FA, PSO y ABC. Los resultados muestran que QPSO tiene mayor precisión de resolución y menor tiempo de cálculo que el algoritmo de contraste; Liu et al.66 propusieron un PSO de aprendizaje paralelo (PLPSO) para resolver el problema IK y verificaron la viabilidad y viabilidad del algoritmo en el manipulador UR5; Dereli y Köker67 propusieron un RDV-PSO que combina movimientos de pelota de golf y PSO, y lo aplicaron a la solución IK del manipulador 7-DOF; Momani et al.68 aplicaron el GA tradicional y el GA continuo al problema IK respectivamente, y los resultados mostraron que el GA continuo fue superior al GA tradicional en todos los aspectos; López-Franco et al.69 aplicaron DE al IK del manipulador. Los resultados experimentales y de simulación muestran la aplicabilidad de este método; Rokbani et al.70 aplicaron FA al problema IK y lo probaron en un sistema plano articulado de tres enlaces, y realizaron un análisis estadístico sobre la convergencia y la calidad de la solución de 100 pruebas; Dereli y Köker13 aplicaron FA al problema IK de un manipulador redundante de 7 grados de libertad y lo compararon con PSO y ABC; Çavdar y Milani71 propusieron un método para resolver IK de un robot manipulador basado en ABC mejorado, y los resultados ilustran que el algoritmo propuesto supera a PSO y HS en precisión de posicionamiento y tiempo de resolución; El-Sherbiny et al.72 propusieron K-ABC, que utilizó diferentes parámetros en el proceso de actualización de las fuentes de alimentos, y luego utilizaron K-ABC para calcular el IK de un manipulador de 5 DOF. Dereli y Köker73 propusieron un ABC para resolver el IK del manipulador 7-DOF; Zhang y Xiao14 propusieron un algoritmo CPABC basado en ABC para resolver el IK del manipulador 7-DOF. La CPABC utilizó mapas caóticos para optimizar la distribución poblacional de la fuente de alimento inicial y evitó el óptimo local; Dereli74 utilizó el GWO modificado, FPD-GWO, para resolver el problema de IK y lo comparó con GWO. Los resultados revelan que FPD-GWO tiene una precisión de convergencia significativamente mayor que GWO; Dereli75 propuso un WOA modificado, ASI-WOA, que evitaba los problemas de velocidad de convergencia lenta y caídas frecuentes en el óptimo local, y evaluó el desempeño de ASI-WOA en el problema IK; Toz76 propuso un algoritmo de búsqueda de vórtices basado en mapeo caótico (CVS) y verificó el rendimiento de CVS en un manipulador de la serie 6-DOF; Wu et al.77 propusieron un algoritmo que combina el método de parametrización con el método T-IK para abordar el problema de IK en el dominio de posición de manipuladores redundantes, y probaron el algoritmo T-IK en un robot de proyección de hormigón en túnel de 8 grados de libertad. Sin embargo, la postura del efector final generalmente no se considera en estudios anteriores al resolver problemas de IK, y es necesario mejorar aún más el rendimiento de la resolución de la precisión, la estabilidad y el rendimiento en tiempo real de los algoritmos.

El algoritmo del moho limoso (SMA) es un algoritmo metaheurístico desarrollado por Li et al.15 que se inspira en el peculiar comportamiento oscilatorio de búsqueda de alimento del moho limoso. El moho limoso puede explorar fuentes de alimento en función de la concentración de olor de los alimentos en el aire durante la búsqueda de alimento. En este proceso, SMA simula principalmente tres morfologías diferentes de búsqueda de alimento del moho limoso: (1) Cuando \(rand

donde \(\overrightarrow {W}\) es el peso de aptitud del agente de búsqueda, \(\overrightarrow {vb}\) es un vector de números aleatorios en \([ - a,a]\) y \(\overrightarrow {vc }\) disminuye linealmente de 1 a 0, y \(\overrightarrow {{X_{b} }}\) es la mejor ubicación de la iteración actual. \(\overrightarrow {{X_{A} }}\) y \(\overrightarrow {{X_{B} }}\) son dos ubicaciones seleccionadas al azar de la población. El valor de \(p\) se calcula como la ecuación. (2).

donde \(S\) significa la aptitud de los agentes de búsqueda y \(DF\) denota la mejor aptitud de todas las iteraciones. El valor de \(a\) en el rango de \(\overrightarrow {vb}\) se calcula como la ecuación. (3).

El \(\overrightarrow {W}\) se calcula como la ecuación. (4).

donde \(N\) representa el tamaño de la población, \(r\) es un vector de números aleatorios en el rango [0, 1], \(bF\) es la mejor aptitud en la iteración actual y \(wF\) es el fitness más pobre, \(SIdx\) representa el resultado del orden ascendente de fitness.

SMA tiene las ventajas de un principio simple, una baja complejidad temporal y una rápida velocidad de convergencia. No se adoptan la estrategia de élite, el mecanismo de clasificación y el mecanismo de archivo. Todos los individuos de búsqueda eligen simple e igualmente estar cerca o lejos de la mejor fuente de alimento \(\overrightarrow {{X_{b} }}\). La ubicación \(\overrightarrow {X}\) se actualiza en función de la ubicación óptima obtenida actualmente \(\overrightarrow {{X_{b} }}\), y la población de moho limoso se guía continuamente para que converja a la ubicación óptima. rápidamente. Como resultado, la capacidad de explotación de SMA supera a la de exploración y es fácil caer en un óptimo local. Además, a partir de la Ec. (1), se puede ver que el rendimiento de SMA proviene principalmente del proceso de búsqueda de alimento oscilatorio de simular el moho limoso para formar tubos con forma de venas. De hecho, para la mayoría de los problemas de aplicaciones del mundo real, el primer operador y el tercer operador de la ecuación. (1) son ineficientes. El primer operador solo busca aleatoriamente y el tercer operador guiará el moho para que converja hacia el origen, lo que reduce la eficiencia de la búsqueda. Por lo tanto, en este documento se simplificará y mejorará el operador de actualización de SMA. Consulte 15 para conocer los pasos detallados y el pseudocódigo de SMA.

El optimizador de equilibrio (EO) es un algoritmo metaheurístico de base física desarrollado por Faramarzi et al. en 2020 que se inspira en el balance de masa de volumen controlado y puede estimar estados dinámicos y de equilibrio simultáneamente39. La ecuación de balance de masa describe el proceso físico de entrada, salida y generación de masa en el volumen de control78. En EO, los agentes de búsqueda actualizan su concentración (ubicación) al azar para encontrar algunas partículas geniales conocidas como candidatas al equilibrio para alcanzar el estado de equilibrio final como óptimo global. La ecuación (6) muestra la fórmula de actualización.

donde \(\overrightarrow {C}\) es la solución actual, \(\overrightarrow {{C_{eq} }}\) es una solución seleccionada aleatoriamente del conjunto de equilibrio, \(\overrightarrow {F}\) es una parámetro adaptativo, \(\overrightarrow {G}\) es la tasa de generación masiva, \(\overrightarrow {\lambda }\) es un vector de números aleatorios en [0, 1], y \(V = 1\) significa el unidad de volumen. Hay cinco soluciones candidatas en el conjunto de equilibrio. Cuatro son las mejores soluciones candidatas encontradas hasta ahora, y otra es la concentración promedio (ubicación central) de estas cuatro soluciones candidatas, como se muestra en la ecuación. (7).

El \(\overrightarrow {F}\) se ajusta adaptativamente según la ecuación. (8).

donde \(a_{1} \in [1,2]\) y \(a_{2} \in [1,2]\) controlan la exploración y explotación, respectivamente. Cuanto mayor es \(a_{1}\), más fuerte es la capacidad de exploración, y cuanto mayor es \(a_{2}\), más fuerte es la capacidad de desarrollo, y viceversa. \(signo\) representa la función simbólica. \(\overrightarrow {r}\) y \(\overrightarrow {\lambda }\) son vectores de números aleatorios en [0, 1]. El \(\overrightarrow {G}\) se calcula mediante la ecuación. (9).

donde \(r_{1}\) y \(r_{2}\) son números aleatorios en [0, 1] y \(GP = 0.5\) es la probabilidad de generación. En 39 se dan pasos más detallados y pseudocódigo para EO.

La optimización multiobjetivo necesita optimizar dos o más funciones objetivo simultáneamente y no puede equilibrarlas explícitamente; es decir, no existe una solución óptima que cumpla todos los objetivos a la vez. Sin pérdida de generalidad, la optimización multiobjetivo se puede expresar como el siguiente problema de optimización79:

donde \(M\) representa el número de subobjetivos, \(m\) denota el número de restricciones de desigualdad y \(n\) denota el número de restricciones de igualdad, \(Dim\) representa la dimensión de las variables de decisión , \([L,U]\) representa el rango de búsqueda de variables de decisión.

Generalmente no existe una solución óptima para problemas de optimización multiobjetivo que minimice todos los subobjetivos simultáneamente. En este escenario, no es posible utilizar operadores de relaciones aritméticas para comparar diferentes soluciones. En el espacio de búsqueda multiobjetivo, podemos comparar los dos agentes de búsqueda utilizando la dominancia óptima de Pareto56. Las siguientes son las definiciones de dominancia de Pareto y optimización de Pareto:

(Dominancia de Pareto). Supongamos que hay dos vectores, \(\vec{x}\) y \(\vec{y}\). Si y sólo si se cumplen los siguientes criterios, el vector \(\vec{x}\) domina \(\vec{y}\) (expresado como \(\vec{x} \succ \vec{y}\)) :

según la ecuación. (11), un vector solución \(\vec{x}\) es superior a otro \(\vec{y}\) si tiene mejores o iguales valores en todos los objetivos y mejores valores en al menos uno de ellos.

(Optimidad de Pareto). Si y sólo si se cumplen los siguientes criterios, se dice que un vector solución \(\vec{x} \in D\) es óptimo de Pareto:

donde \(D\) denota el espacio de decisión. Según la ecuación. (12), si ningún otro vector de solución en el espacio de decisión \(D\) es superior a \(\vec{x}\), entonces \(\vec{x}\) se considera la solución óptima de Pareto.

(Conjunto óptimo de Pareto). El conjunto óptimo de Pareto (PS) es un conjunto que contiene todas las soluciones no dominadas a un problema determinado:

(Frente óptimo de Pareto). El frente óptimo de Pareto (PF) es el conjunto cartográfico del PS en el espacio objetivo y su expresión es la siguiente:

En EOSMA, se adoptan principalmente las siguientes estrategias de mejora: (1) Se introducen los óptimos históricos individuales y globales de PSO81. El óptimo histórico individual se preserva mediante una selección codiciosa y un mecanismo de memoria. En el operador de actualización de SMA, el óptimo histórico individual y global se utiliza para actualizar y acelerar la convergencia del algoritmo; (2) El operador de actualización de concentración de EO se utiliza para reemplazar el operador de búsqueda anisotrópico menos eficiente en SMA para equilibrar la concentración de moho limoso en todas las direcciones y mejorar la eficiencia de búsqueda del algoritmo; (3) Se introduce el operador de mutación de diferencia aleatoria. Después de la actualización de la ubicación, se emplea el mecanismo de mutación para mejorar la capacidad de exploración del algoritmo, ayudándolo a escapar del óptimo local y evitar una convergencia prematura; (4) Se mejora la verificación de límites del algoritmo y el vector de solución más allá del límite de búsqueda se actualiza al punto medio de la solución actual al límite de búsqueda para evitar búsquedas no válidas. Por lo tanto, la fórmula de actualización de ubicación de EOSMA se muestra en la ecuación. (15).

donde \(\overrightarrow {{X_{eq} }}\) es una solución seleccionada aleatoriamente del conjunto de equilibrio, \(\overrightarrow {X}\) es la ubicación de los agentes de búsqueda, \(\overrightarrow {gBest}\ ) es la mejor ubicación encontrada hasta el momento, \(\overrightarrow {{pBest_{A} }}\) y \(\overrightarrow {{pBest_{B} }}\) son dos vectores de ubicación seleccionados aleatoriamente del óptimo histórico individual, \(z = 0,5\) es el parámetro del algoritmo híbrido obtenido mediante experimentos, y el significado de los parámetros restantes es el mismo que en EO y SMA.

Para mejorar la capacidad de exploración del algoritmo y la probabilidad de escapar del óptimo local, los agentes de búsqueda ejecutan la estrategia de mutación de diferencia aleatoria después de la actualización mediante la ecuación. (15). El modelo matemático del operador de mutación se muestra en la ecuación. (dieciséis).

donde \(SF\) es un número aleatorio que toma valor en [0.3, 0.6], \(R1,R2,R3\) son tres vectores enteros aleatorios, el elemento toma valor en [1, N] y N representa la población tamaño.

Una vez actualizada la ubicación del agente de búsqueda, verifique la solución para asegurarse de que esté dentro del rango de búsqueda. Para el vector de solución más allá del rango de búsqueda, la práctica habitual es devolverlo al límite. De esta manera, es fácil generar búsquedas no válidas y reducir la eficiencia de la búsqueda. En EOSMA, los límites se verifican mediante la ecuación. (17).

Finalmente, después de cada evaluación de aptitud, la ubicación histórica óptima individual se actualiza utilizando la estrategia codiciosa, como se muestra en la ecuación. (18).

En EOSMA, usar el \(\overrightarrow {{X_{eq} }}\) seleccionado aleatoriamente en el grupo de equilibrio para actualizar la ubicación equivale a introducir un mecanismo jerárquico similar a GWO12. Por lo tanto, en comparación con SMA, EOSMA introduce una estrategia de selección codiciosa, un mecanismo de partición jerárquica, un mecanismo de mutación diferencial y una estrategia de verificación de límites. La selección codiciosa y la estrategia de verificación de límites mejoran la capacidad de explotación, y la partición jerárquica y el mecanismo de mutación diferencial mejoran la capacidad de exploración. Como resultado, las capacidades de exploración y explotación de EOSMA mejoran en comparación con EO y SMA. La Figura 1 muestra el diagrama de flujo de EOSMA y el Algoritmo 1 presenta su pseudocódigo.

Diagrama de flujo de la EOSMA.

Se agregaron dos componentes a EOSMA para transformarlo a una versión multiobjetivo. El primer componente es un archivo que conserva todas las soluciones óptimas de Pareto descubiertas hasta el momento. El segundo componente es una técnica para clasificar las soluciones óptimas de Pareto basándose en métricas de congestión, que actualiza el conjunto de equilibrio.

El archivo se utiliza para almacenar y recuperar PS y PF encontrados hasta el momento, y su capacidad es la misma que el tamaño de la población. El operador de actualización de ubicación del agente de búsqueda es el mismo que el de EOSMA, pero la fuente de alimento (ubicación óptima) se selecciona del archivo. Se utiliza un enfoque de actualización de archivos similar al empleado en MOPSO82 para obtener un PF bien distribuido. El archivo siempre recopila soluciones óptimas de Pareto de la población actual y las actualiza mediante los siguientes pasos:

Combine las nuevas soluciones de cada iteración con las soluciones óptimas de Pareto anteriores del archivo y luego verifique las soluciones combinadas. Si una solución no está dominada por otras soluciones, agréguela al archivo; De lo contrario, deséchelo;

Compruebe si todavía existe la misma solución en el archivo y luego elimínela;

Las soluciones en los archivos se clasifican según la congestión. Cuanto menos congestionada esté una zona, más importantes serán las soluciones, y viceversa.

Si la cantidad de soluciones en el archivo excede la capacidad del archivo, se utiliza el método de selección de la ruleta para eliminar la solución con mayor congestión;

Vuelva a clasificar las soluciones en el archivo según la congestión.

Todas las soluciones almacenadas en el archivo obtenidas de acuerdo con las reglas de actualización anteriores dominarán otras soluciones en la población. El modelo conceptual del nivel de congestión se muestra en la Fig. 2. Se define una hiperesfera con un radio de \(\overrightarrow {dr}\), y el número de soluciones en la hiperesfera se toma como el nivel de congestión de las soluciones, centrándose sobre la idoneidad de cada solución. La fórmula de cálculo del radio de distancia \(\overrightarrow {dr}\) es la ecuación. (19).

donde \(\overrightarrow {max}\) y \(\overrightarrow {min}\) son dos vectores que almacenan la aptitud máxima y mínima de cada objetivo, respectivamente, y \(Archivesize\) es el tamaño del archivo54.

Modelo de selección de una fuente de alimento o eliminación de una solución del archivo.

El enfoque de optimización multiobjetivo se basa en la convergencia y la cobertura para obtener la solución óptima de Pareto. La convergencia está determinada principalmente por el rendimiento de EOSMA y la cobertura está determinada principalmente por las reglas de actualización del archivo. Como puede verse en la Fig. 2, hay más soluciones no dominantes cerca de las soluciones con mayores niveles de congestión. Para mejorar la cobertura de PF, las soluciones con niveles de congestión más altos deben eliminarse preferentemente, mientras que las soluciones con niveles de congestión más bajos deben conservarse enérgicamente. Si el número de soluciones no dominantes excede la capacidad del archivo, la probabilidad de que se elimine cada solución se calcula utilizando la ecuación. (20).

donde \(P_{i}\) define la probabilidad de seleccionar la i-ésima solución no dominada, \(C\) significa la suma acumulada de los niveles de congestión de todas las soluciones no dominadas, y \(N_{i} \) denota el nivel de congestión de la i-ésima solución no dominada.

El grupo de equilibrio mantiene múltiples soluciones óptimas descubiertas hasta el momento, lo que amplía el rango de búsqueda del algoritmo y mejora la capacidad de búsqueda global de EOSMA. La aptitud de los agentes de búsqueda se puede comparar directamente para la optimización de un solo objetivo, y el agente de búsqueda con la mejor aptitud se puede seleccionar y colocar en el grupo de equilibrio. Para una optimización multiobjetivo, el archivo de MOEOSMA almacena las soluciones no dominantes de la iteración actual. Las soluciones con el menor nivel de congestión pueden considerarse como la mejor fuente de alimento. Por lo tanto, la solución con el nivel de congestión más bajo en el archivo se coloca en el grupo de equilibrio. Cada iteración selecciona aleatoriamente una solución en el conjunto de equilibrio como la ubicación óptima global \(\overrightarrow {gBest}\) en la ecuación. (15). Vale la pena señalar que hay 5 soluciones en el grupo de equilibrio de EOSMA, mientras que el número de soluciones en el grupo de equilibrio de MOEOSMA varía. Además, a diferencia de muchos algoritmos heurísticos, SMA necesita ordenar la aptitud durante cada iteración para evaluar el peso de aptitud individual. Debido a que la aptitud individual de varios objetivos no se puede comparar simultáneamente en la optimización multiobjetivo, este trabajo utilizó un enfoque de clasificación por rotación para estimar el peso de aptitud individual del moho limoso, como se muestra en la ecuación. (21).

donde \(O_{i}\) significa la idoneidad de la i-ésima función objetivo seleccionada para la clasificación, \(t\) significa el número de iteraciones actuales y \(M\) significa el número de objetivos del problema. La Figura 3 muestra el diagrama de flujo de MOEOSMA y el Algoritmo 2 presenta el pseudocódigo.

Diagrama de flujo del MOEOSMA.

EOSMA consta de subcomponentes: inicialización de la población, evaluación de la aptitud, selección voraz, clasificación de la aptitud, actualización del peso de la aptitud, actualización del grupo de equilibrio, actualización de la ubicación del agente de búsqueda y operador de mutación. La complejidad computacional de la inicialización es \(O(N * Dim)\), la complejidad temporal de la selección codiciosa y la actualización del grupo de equilibrio es \(O(N)\), la complejidad computacional de la actualización del peso físico, la actualización de la ubicación y la mutación operación son todos \(O(N * Dim)\), y la complejidad computacional de la clasificación de aptitud es \(O(N * \log N)\). Suponiendo que la complejidad temporal de la función de evaluación de aptitud es \(O(F)\), la complejidad temporal de EOSMA es \(O\left( {\max \_t * \left( {N * Dim + N * \log N + F} \right)} \right)\), donde \(N\) denota el tamaño de la población, \(Dim\) denota la dimensionalidad del problema, \(F\) denota el tiempo para calcular la función de aptitud una vez, y \ (\max \_t\) denota el número máximo de iteraciones del algoritmo. La complejidad espacial de EOSMA es \(O(N * Dim)\).

MOEOSMA amplía los componentes de EOSMA con el operador de actualización de archivos. Tiene una complejidad temporal de \(O(N_{A}^{2} * M)\), donde \(N_{A}\) es la capacidad de archivo y \(M\) es el número de objetivos. Como resultado, la complejidad temporal de MOEOSMA es \(O\left( {\max \_t * \left( {N_{A}^{2} * M + N * Dim + N * \log N + F} \right) } \bien)\). MOEOSMA tiene la misma complejidad espacial que EOSMA, que es \(O(N * Dim)\).

Como se ilustra en la Fig. 4, el análisis cinemático del manipulador robótico incluye análisis de cinemática directa (FK) y análisis de cinemática inversa (IK). FK calcula la posición y la postura del efector final en función del vector de ángulo de la articulación, e IK calcula el vector de ángulo de la articulación correspondiente en función de la posición y la postura.

Análisis cinemático del manipulador robótico.

El CI es un problema fundamental en robótica, que juega un papel importante en el control del movimiento y la planificación de trayectorias61. Para el manipulador que cumple con el estándar Pieper, se puede utilizar el método analítico para resolverlo. Aún así, para el manipulador más general, el método analítico no se puede utilizar para resolverlo, especialmente para el manipulador con la muñeca desplazada66. El manipulador con 7 grados de libertad se ha utilizado ampliamente en la industria debido a su fácil evitación de obstáculos, movimiento flexible y trabajo en un espacio grande9. Este trabajo utiliza el manipulador robótico de la serie 7-DOF9,74,75 previamente estudiado como instancia de prueba para validar la efectividad y eficiencia del EOSMA propuesto. La estructura del manipulador se muestra en la Fig. 5, que se compone de 7 juntas giratorias y 6 bielas en serie, y el efector final tiene un desplazamiento de 5 cm. Por lo tanto, la estructura del manipulador no cumple con el estándar de Pieper y es difícil obtener su ecuación IK mediante el método analítico.

La estructura del manipulador robótico 7-DOF.

Es necesario establecer el modelo de cinemática directa antes de estudiar la cinemática inversa del manipulador. Los parámetros de Denavit-Hartenberg (DH) pueden determinar de forma única la estructura del manipulador y se utilizan ampliamente en el modelado FK de manipuladores robóticos66. La Tabla 1 enumera los parámetros DH del manipulador estudiado en este artículo, donde \(a_{i} ,\alpha_{i} ,d_{i} ,\theta_{i}\) representan la longitud de la biela, la torsión ángulo de la biela, el desplazamiento de la biela y el ángulo de la junta, respectivamente.

El modelo FK del manipulador se establece utilizando el método de parámetros DH estándar, y la matriz de transformación homogénea de la articulación única se presenta en la ecuación. (22)5.

donde \({}_{i - 1}^{i} T\) es la matriz de transformación homogénea de la articulación \(i - 1\) a \(i\), \(s\theta_{i}\) y \(c\theta_{i}\) sustituye a \(\sin (\theta_{i} )\) y \(\cos (\theta_{i} )\), respectivamente.

Sustituyendo cada fila de datos en la Tabla 1 en la Ec. (22), se puede obtener la matriz de transformación homogénea de cada articulación, como se muestra en la Ec. (23).

La ecuación FK del efector final con respecto a la base se produce multiplicando todas las matrices de transformación homogéneas, como se muestra en la ecuación. (24).

donde \(T_{{\text{End - Effector}}}\) representa la matriz de transformación homogénea del efector final con respecto al sistema de coordenadas base. Cuando el valor de una variable conjunta dada está en la ecuación. (24), la representación alternativa de \(T_{{\text{End - Effector}}}\) se puede escribir como Ec. (25).

donde \((p_{x} ,p_{y} ,p_{z} )^{{\text{T}}}\) representa el elemento de posición del efector final en el sistema de coordenadas base, y \(({\ vec{\mathbf{n}}},{\vec{\mathbf{s}}},{\vec{\mathbf{a}}})\) representa el elemento de postura, es decir, el elemento de rotación.

Aunque la matriz de rotación \(({\vec{\mathbf{n}}},{\vec{\mathbf{s}}},{\vec{\mathbf{a}}})\) tiene nueve elementos, tiene sólo tres grados de libertad y es una matriz ortogonal unitaria con redundancia. Por lo tanto, el ángulo de Euler se utiliza para describir la postura del efector final y su fórmula de cálculo se muestra en la ecuación. (26)66.

Por lo tanto, la posición y la postura se pueden expresar como \(P = (p_{x} ,p_{y} ,p_{z} ,\alpha ,\beta ,\gamma )\), donde \((p_{x} ,p_{y} ,p_{z} )\) es el vector de posición y \((\alpha ,\beta ,\gamma )\) es el vector de postura expresado por el ángulo de Euler. La ecuación FK del manipulador robótico simplificado de 7 DOF se muestra en la ecuación. (27).

donde \(s_{i}\) y \(c_{i}\) sustituyen a \(\sin (\theta_{i} )\) y \(\cos (\theta_{i} )\), \ (s_{ij}\) y \(c_{ij}\) sustituyen a \(\sin (\theta_{i} ) \cdot \sin (\theta_{j} )\) y \(\cos (\ theta_{i} ) \cdot \cos (\theta_{j} )\), respectivamente.

Como se mencionó anteriormente, la ecuación FK del manipulador robótico 7-DOF se puede obtener fácilmente utilizando el método de coordenadas DH. Dado el vector de ángulo conjunto \(\left( {\theta_{1} ,\theta_{2} ,\theta_{3} ,\theta_{4} ,\theta_{5} ,\theta_{6} ,\theta_{ 7} } \right)\), la posición y postura \((p_{x} ,p_{y} ,p_{z} ,\alpha ,\beta ,\gamma )\) del manipulador se pueden calcular directamente mediante Ec. (27). Sin embargo, dada la posición y postura \((p_{x} ,p_{y} ,p_{z} ,\alpha ,\beta ,\gamma )\) del manipulador, la ecuación IK utilizada para obtener el vector del ángulo de la articulación \(\left( {\theta_{1} ,\theta_{2} ,\theta_{3} ,\theta_{4} ,\theta_{5} ,\theta_{6} ,\theta_{7} } \right )\) es altamente no lineal, lo que se considera un problema de optimización muy desafiante76.

El problema IK del manipulador se define como determinar el ángulo articular correspondiente en función de la posición y postura del efector final. El problema IK del manipulador de estructuras complejas pertenece al grupo de problemas NP83. Debido a que el método analítico es extremadamente difícil de usar, esta investigación emplea el EOSMA desarrollado para abordar el problema del CI. La relación entre el algoritmo EOSMA y el problema IK se muestra en la Tabla 2.

El propósito de este estudio es optimizar el vector de ángulo articular \(\overrightarrow {{\theta_{i} }} = (\theta_{1} ,\theta_{2} ,\theta_{3} ,\theta_{4} ,\theta_{5} ,\theta_{6} ,\theta_{7} )\) del manipulador para eliminar errores de posición y postura. La fórmula FK se utiliza para calcular la posición y la postura del efector final correspondiente al vector del ángulo articular. Para la pose deseada \(P_{0} = (p_{x0} ,p_{y0} ,p_{z0} ,\alpha_{0} ,\beta_{0} ,\gamma_{0} )\), la aptitud del vector de ángulo conjunto candidato \(\overrightarrow {{\theta_{i} }}\) se define como la ecuación. (28).

donde \(w_{1} + w_{2} = 1\) representa el peso del error de posición y postura, y \(P_{i} = (p_{xi} ,p_{yi} ,p_{zi} ,\ alpha_{i} ,\beta_{i} ,\gamma_{i} )\) denota la posición y postura del efector final correspondiente al vector del ángulo articular \(\overrightarrow {{\theta_{i} }}\), que se puede obtener de la Ec. (27).

La función de aptitud definida por la ecuación. (28) consiste en error de posición y postura. Cabe señalar que en estudios anteriores, muchos investigadores solo consideraron la posición sin considerar la postura, lo que reduce la complejidad del problema del CI. Aunque esos algoritmos han obtenido una alta precisión, son inconsistentes con muchas aplicaciones del mundo real. En este estudio se consideran exhaustivamente la posición y la postura del efector final y se obtiene la postura completa del manipulador. Para EOSMA, la ubicación de los agentes de búsqueda es el vector del ángulo conjunto, es decir, \(\overrightarrow {{pBest_{i} }} = \overrightarrow {{\theta_{i} }}\). El rango de búsqueda de ángulos de articulación se presenta en la Tabla 1.

Debido a la aleatoriedad del algoritmo metaheurístico, pueden aparecer valores atípicos deficientes en una sola ejecución, lo que afectará la precisión promedio de la solución del algoritmo. En este estudio, el umbral para juzgar si el algoritmo se ha resuelto exitosamente se establece en 10e-6. Si el resultado de la solución es menor que 10e−6, se considera que el algoritmo se resolvió exitosamente y se retiene el resultado de la solución del algoritmo; De lo contrario, el algoritmo se emplea para resolver nuevamente hasta alcanzar el número máximo de fallas del algoritmo. El número máximo de fallas de todos los algoritmos de comparación se establece en 10. La Figura 6 explica el diagrama de flujo de EOSMA para el problema IK.

Diagrama de flujo de la implementación de EOSMA para el problema IK.

La efectividad y eficiencia del EOSMA en el manejo del problema del CI se validaron en dos escenarios en esta sección. En primer lugar, se comparó EOSMA con 15 algoritmos conocidos sin tener en cuenta la postura y luego se comparó con los resultados de estudios existentes. Luego, el método propuesto se comparó con 15 algoritmos de objetivo único bien conocidos y 9 algoritmos de objetivo múltiple en el escenario de considerar de manera integral la posición y la postura. Finalmente, de acuerdo con el vector de ángulo de articulación calculado y los ángulos actuales del manipulador, se simuló el cambio de articulación del manipulador y se dibujó la trayectoria de movimiento del efector final. Todos los códigos de algoritmo se ejecutaron en MATLAB R2020b y los detalles del hardware fueron CPU Intel(R) Core (TM) i7-9700 (3,00 GHz) y 16 GB de RAM. En el experimento, se da prioridad al error de pose y al tiempo de cálculo, y se emplean la mejor, la peor, la media y la desviación estándar como métricas de rendimiento del algoritmo.

Para demostrar plenamente la eficacia y eficiencia de EOSMA en la solución del problema IK, se compara con 15 algoritmos de objetivo único y 9 algoritmos de objetivo múltiple. Estos algoritmos incluyen SMA15, EO39, DE44, TLBO46, FPA43, MRFO40, MPA42, PFA42, GBO45, HHO47, IGWO48, PSOGSA49, CODE50, MTDE51, SASS52, MOSMA35, MOPSO53, MOMPA54, MOALO55, MODA56, MOGWO57, MOMVO 58, MSSA59, MOEA /D60. Todos los algoritmos utilizan los mismos parámetros comunes para una comparación justa, y otros parámetros se toman de los valores sugeridos en el artículo original, como se muestra en las Tablas 3 y 4. En el escenario 1, se establece la probabilidad de mutación \(q\) de EOSMA como 0, y el factor de exploración \(a_{1}\) se establece como 1. En el escenario 2, la probabilidad de mutación \(q\) se establece como 1, y el factor de exploración \(a_{1}\) es establecer como 2.

En esta parte, EOSMA se compara con 15 algoritmos conocidos para el problema IK que no tienen en cuenta la postura. Debido a que los algoritmos metaheurísticos se ejecutan al azar, cada ejecución tendrá un valor mayor o menor que la anterior. Para evitar la influencia de la aleatoriedad en la selección de puntos de posición, se generaron 100 puntos de posición diferentes al azar en el espacio de trabajo del manipulador, como se muestra en la Fig. 7, donde el color representa la altura de la posición.

Puntos de posición seleccionados aleatoriamente en el espacio de trabajo del manipulador.

Los resultados obtenidos por el algoritmo de comparación se muestran en la Tabla 5. Se puede ver que EOSMA, EO, MRFO, PFA y GBO pueden obtener soluciones teóricas óptimas con error cero sin considerar la postura, pero EOSMA tiene la mejor robustez y la menor tiempo de solución. La precisión de convergencia promedio de EOSMA es 9 órdenes de magnitud mayor que EO y 13 órdenes de magnitud mayor que SMA, lo que verifica la efectividad y eficiencia de EOSMA en el problema IK.

En la Fig. 8 se muestran las curvas de convergencia de EOSMA y 14 algoritmos de comparación. Dado que el tamaño de la población de SASS disminuye linealmente con el número de iteraciones, sus curvas de convergencia no son comparables. Los resultados muestran que EOSMA puede obtener rápidamente soluciones de alta precisión, muy superiores a otros algoritmos de comparación, seguidos por GBO y PSOGSA, lo que indica que EOSMA es adecuado para resolver problemas de IK sin considerar la postura.

Curva de convergencia promedio de puntos de posición seleccionados aleatoriamente.

El tiempo de solución de EOSMA y 15 algoritmos de comparación en 100 posiciones seleccionadas al azar se muestra en la Fig. 9. Se puede ver que EOSMA toma la menor cantidad de tiempo, seguido de EO y PFA, y IGWO toma la mayor cantidad de tiempo. Dado que el manipulador es un sistema de control en tiempo real, se prefiere el algoritmo con un tiempo de solución corto cuando se satisface la precisión de la solución. Por lo tanto, aunque PSOGSA y GBO tienen una alta precisión de convergencia, no son adecuados para resolver el IK del manipulador. EOSMA, EO y PFA son altamente competitivos en el problema IK.

Tiempo de solución de algoritmos de comparación en puntos de posición seleccionados aleatoriamente.

La Figura 10 muestra la distribución de los resultados de la solución del algoritmo en forma de diagrama de caja. Para facilitar la observación, establezca resultados inferiores a 10e−18 en 10e−18. Está claro que EOSMA tiene una mediana más baja y un diagrama de caja más estrecho con menos valores atípicos que la mayoría de los algoritmos. EOSMA es superior a SMA en precisión de convergencia y a EO en robustez.

Diagrama de caja de los resultados de optimización de puntos de posición seleccionados aleatoriamente.

Para verificar si existe una diferencia significativa entre los resultados de la solución de EOSMA y cada algoritmo de comparación, se utilizó la prueba de suma de rangos de Wilcoxon de dos muestras pareadas84. La Figura 11 ilustra el valor p de la prueba de suma de rangos de Wilcoxon como un gráfico de barras. Si p < 0,05, se cree que existe una diferencia sustancial entre los dos algoritmos. Como puede verse, EOSMA difiere mucho de todos los algoritmos de comparación, particularmente de SMA, lo que indica que la mejora es efectiva.

Resultados de la prueba de suma de rangos de Wilcoxon de puntos de posición seleccionados al azar.

Muchos algoritmos metaheurísticos, como la optimización del enjambre de partículas cuánticas (QPSO)9, GWO74 y WOA75, se han aplicado eficazmente al IK de manipuladores robóticos de 7 grados de libertad. La Tabla 6 muestra los resultados de EOSMA, SMA y EO en el IK del manipulador 7-DOF con otros algoritmos metaheurísticos comparables utilizados en estudios existentes. De los resultados se desprende claramente que la precisión de la solución de EOSMA es 4 órdenes de magnitud mayor que la de QPSO.

El IK de manipuladores redundantes se considera un problema de optimización desafiante83. Muchos estudios anteriores no consideraron la postura del efector final, lo que simplifica el problema pero es inconsistente con la mayoría de las aplicaciones prácticas. Teniendo en cuenta que la postura hace que el problema de IK sea más complejo, es necesario verificar más a fondo el rendimiento de optimización de EOSMA. El método de ponderación lineal se utiliza en esta sección para manejar el problema de IK teniendo en cuenta la postura. El valor de aptitud del vector de ángulo de articulación candidato \(\overrightarrow {{\theta_{i} }}\) se calcula mediante la ecuación. (28), donde \(w_{1}\) y \(w_{2}\) se establecen en 0,5, lo que indica que la posición y la postura son igualmente importantes. Se generaron aleatoriamente un total de 100 puntos de pose diferentes en el espacio de trabajo del manipulador 7-DOF, como se muestra en la Fig. 12. En la figura, los puntos sólidos representan la posición del efector final y las líneas rectas representan la postura.

Puntos de pose generados aleatoriamente en el espacio de trabajo del manipulador.

La Tabla 7 presenta los resultados de EOSMA y 15 algoritmos de comparación. Al considerar la posición y postura del efector final, se puede ver que solo EOSMA, MPA, DE y SASS pueden resolver eficazmente el problema IK. EOSMA y SASS produjeron resultados aceptables, con una precisión de solución promedio de 10e-18. Aunque la precisión de la solución de EOSMA no es tan buena como la de SASS, su tiempo de solución es más corto, lo que la hace más adecuada para el control del manipulador en tiempo real. Como resultado, EOSMA es un método alternativo viable para resolver el problema IK de manipuladores complicados.

La Figura 13 presenta las curvas de convergencia de EOSMA y varios algoritmos de comparación. Como puede verse, EOSMA tiene la velocidad de convergencia más rápida y la mayor precisión de convergencia, superando considerablemente a EO y SMA. Además, la curva de convergencia de EOSMA es notablemente suave, lo que indica que el algoritmo ha logrado un equilibrio razonable entre exploración y explotación. El operador de mutación de diferencia aleatoria se utiliza en EOSMA para expandir el espacio de búsqueda de los agentes de búsqueda durante el proceso iterativo, evitar la superpoblación de los agentes de búsqueda y aumentar la probabilidad de encontrar la solución óptima. Como se muestra en la Fig. 13, la precisión promedio de la solución de la mayoría de los algoritmos es inferior a 10e-7, lo que indica que el EOSMA propuesto mejora la precisión promedio de la solución en 10 órdenes de magnitud.

Curva de convergencia promedio de puntos de pose generados aleatoriamente.

El tiempo de solución de cada algoritmo en 100 puntos de pose se muestra en la Fig. 14. Se puede ver que el tiempo de solución de EOSMA fluctúa poco cuando se resuelven diferentes puntos de pose. El tiempo de solución promedio de EOSMA es el más corto, aproximadamente 0,36 s, seguido del MPA, aproximadamente 0,42 s. Puede que este no sea un resultado totalmente satisfactorio, pero muestra que EOSMA todavía se puede utilizar para algunos manipuladores robóticos con bajo rendimiento en tiempo real, como en la industria de servicios y operaciones en línea informáticas fuera de línea66.

Tiempo de solución de algoritmos de comparación en puntos de pose generados aleatoriamente.

El diagrama de caja de la Fig. 15 muestra los resultados de la solución de EOSMA y otros algoritmos de comparación en 100 puntos de pose. EOSMA y SASS tienen la mediana más baja y pocos valores atípicos, lo que los hace considerablemente superiores a otros algoritmos de comparación. En general, EOSMA y SASS obtuvieron buenos resultados en el problema IK, con poca diferencia en el rendimiento entre los dos. Sin embargo, EOSMA tiene una complejidad temporal menor que SASS.

Diagrama de caja de los resultados de optimización de puntos de pose generados aleatoriamente.

La Figura 16 muestra los resultados de la prueba del valor p de Wilcoxon de EOSMA y cada algoritmo de comparación. Se puede ver que, a excepción de SASS, existen diferencias significativas entre los resultados de optimización de EOSMA y los algoritmos de comparación en un nivel de confianza de 0,05. Muestra que el principio de búsqueda de EOSMA es diferente de otros algoritmos y puede resolver el IK de manera más efectiva.

Resultados de la prueba de suma de rangos de Wilcoxon de puntos de pose generados aleatoriamente.

Si la posición y postura deseadas del efector final se consideran de manera integral, es posible que no haya una solución cinemática inversa debido a las restricciones estructurales del manipulador, es decir, los errores de posición y postura no se pueden optimizar simultáneamente. Como resultado, el IK del manipulador puede considerarse como un problema de optimización multiobjetivo. Obviamente, cuanto más cerca del límite del espacio de trabajo, menos seleccionable será la postura del efector final. En este caso, es difícil obtener una solución satisfactoria utilizando el algoritmo de objetivo único. En este estudio, se propuso MOEOSMA para resolver problemas de CI. Se seleccionó la pose deseada \(P_{1} = ( - 25,100,50,0,0,0)\) y \(P_{2} = (50, - 25,75,0,0,0)\) como casos de prueba. Se verificó que \(P_{1}\) no tenía soluciones cinemáticas inversas mientras que \(P_{2}\) tenía soluciones cinemáticas inversas a través de Robotics Toolbox para MATLAB. Debido a que el problema IK del manipulador 7-DOF no se ha estudiado utilizando el método multiobjetivo en la literatura anterior, MOEOSMA se compara con MOSMA35, MOPSO53, MOMPA54, MOALO55, MODA56, MOGWO57, MOMVO58, MSSA59 y MOEA/D60. . Para una comparación justa, el tamaño de población de todos los algoritmos se estableció en 100, el número máximo de iteraciones se estableció en 1000, el tamaño del archivo se estableció en 100 y cada ejemplo se ejecutó de forma independiente 20 veces. Dado que se desconoce el verdadero PF, se utilizó la métrica de hipervolumen (HV)85,86 para evaluar la diferencia de rendimiento de los algoritmos. La métrica HV puede evaluar simultáneamente tanto el avance como la distribución del FP obtenido87. Cuanto mayor sea el valor de HV, mejor será la convergencia y distribución del algoritmo. Los puntos de referencia para los casos de prueba utilizados en este estudio fueron 1,1 veces el valor máximo de la función objetivo encontrado en todos los algoritmos y todas las ejecuciones de optimización. Los puntos de referencia para calcular los valores HV de las poses deseadas P1 y P2 son (2.088567, 2.466816) y (1.695669, 2.524178), respectivamente. La Tabla 8 proporciona los datos estadísticos de los resultados de HV obtenidos por cada algoritmo. El PF obtenido por los algoritmos bajo las dos poses deseadas se muestra en las Figs. 17 y 18, respectivamente.

El PF obtenido mediante algoritmos multiobjetivo en la pose deseada P1.

El PF obtenido mediante algoritmos multiobjetivo en la pose deseada P2.

Los datos proporcionados en la Tabla 8 muestran que MOEOSMA obtiene la mejor media y desviación estándar en los dos escenarios, mientras que MOMPA y MOMVO también muestran una fuerte competencia. Para la postura sin solución cinemática inversa, MOEOSMA tiene un tiempo de solución mayor que MOMPA, MOMVO y MSSA, pero la calidad del PF obtenido es mejor. Para la pose con solución cinemática inversa, MOEOSMA es mucho mejor que los otros algoritmos de comparación tanto en precisión como en velocidad. Como puede verse en la Fig. 17, el PF obtenido por MOEOSMA está más cerca del PF verdadero y las soluciones extremas de Pareto están más ampliamente distribuidas. Como se puede ver en la Fig. 18, el PF de MOEOSMA es convexo y el resto es cóncavo, lo que indica que el algoritmo propuesto puede minimizar los errores tanto de posición como de postura, mientras que los otros algoritmos tienden a optimizar uno de los objetivos. Esto revela plenamente que MOEOSMA es una buena herramienta de optimización para resolver el problema IK de manipuladores redundantes.

En esta sección se simuló el estado de movimiento del manipulador robótico 7-DOF utilizando Robotics Toolbox para MATLAB. Supongamos que el vector de ángulo de articulación inicial del manipulador es \(\overrightarrow {{\theta_{1} }} = (45^\circ ,0^\circ ,45^\circ ,0^\circ ,45^\circ , 0^\circ ,0^\circ )\), la posición y postura del efector final correspondiente al vector del ángulo articular \(\overrightarrow {{\theta_{1} }}\) es \(P_{1} = ( - 24.748737,100.961941,50.000000,90, - 45,0)\), y la pose deseada del efector final es \(P_{2} = (50, - 75,75,0,0,0)\) . Según la pose deseada, se pueden obtener muchos vectores de ángulos articulares a través de EOSMA. Para el estado actual del manipulador, el costo de cambiar a esos ángulos de articulación es diferente. En este estudio, el vector de ángulo de articulación con el menor cambio de ángulo general es el mejor vector de ángulo de articulación candidato, que puede minimizar el tiempo de movimiento del manipulador. La función de penalización de la diferencia de ángulos articulares se agregó a la función de aptitud para evaluar el error de pose, como se muestra en la ecuación. (31).

donde \(O(\vec{\theta }_{i} )\) representa la función objetivo, \(\vec{\theta }_{i}\) representa el i-ésimo vector de ángulo conjunto candidato, \(\ vec{\theta }_{1}\) representa el vector del ángulo conjunto en el estado inicial, \(w\) es el coeficiente de penalización, el valor en este documento es 10e−15 y \(\left\| \cdot \right\|\) representa la distancia euclidiana calculada.

Los ángulos de articulación del manipulador obtenidos por EOSMA, SMA y EO se muestran en la Tabla 9. El manipulador puede leer los ángulos de articulación inicial y final de la Tabla 9 para controlar la rotación de cada ángulo de articulación y mover el efector final a la Posición y postura deseada.

La Figura 19 muestra el proceso de optimización de EOSMA, la Figura 20 muestra la trayectoria del efector final y la curva del cambio del ángulo de la articulación con el tiempo. Los resultados de la simulación muestran que los tres algoritmos pueden alcanzar la posición y postura deseadas, y en los que el cambio de ángulo de SMA es menor, pero la precisión de la solución es la más baja. El cambio de ángulo de EOSMA es muy cercano al de SMA, pero el error de pose se reduce en 8 órdenes de magnitud, como se muestra en la Tabla 9 y la Fig. 19b. EO tiene la mayor variación de ángulo y su precisión está entre SMA y EOSMA. Como se muestra en la Fig. 19b, el ángulo de articulación candidato óptimo no excede el rango de búsqueda de cada ángulo de articulación durante la iteración. Al comienzo de la iteración, el ángulo de cada articulación cambió obviamente, lo que indica que EOSMA tiene una gran capacidad de exploración. Después de 200 generaciones, el ángulo articular candidato óptimo no cambió significativamente. EOSMA utilizó el operador de búsqueda SMA para ajustar con precisión el ángulo de articulación candidato óptimo encontrado hasta el momento, logrando una alta precisión de convergencia. Como puede verse en la Fig. 20a, los tres algoritmos obtienen una trayectoria muy suave, pero EOSMA tiene la mayor precisión para alcanzar la pose deseada. Puede verse en las figuras 20b a d que las curvas de ángulo, velocidad y aceleración de cada articulación son continuas y suaves, y el cambio de ángulo de cada articulación se distribuye uniformemente. Indica que no hay fluctuaciones obvias durante el movimiento del manipulador y que el rango de cambio general del manipulador es pequeño.

Proceso de optimización del algoritmo. (a) El ángulo de articulación candidato óptimo de EOSMA varía con el número de iteraciones. (b) Curva de convergencia de los algoritmos.

Resultados de las pruebas de simulación. (a) La trayectoria del efector final del manipulador 7-DOF. (b) Curvas del ángulo articular con el tiempo. (c) Curvas de velocidad angular conjunta con el tiempo. (d) Curvas de aceleración angular conjunta con el tiempo.

El EOSMA propuesto en este estudio mejora la capacidad de búsqueda de EO y SMA, aumenta la variedad de la población y reduce la probabilidad de caer en el óptimo local. De hecho, el obstáculo más importante en muchos algoritmos metaheurísticos es frecuentemente caer en el óptimo local, lo que limita drásticamente el rendimiento de la optimización. Cuando se evalúa desde esta perspectiva, EOSMA está por delante de muchos algoritmos heurísticos (Figs. 8 y 13). Al comparar las curvas de convergencia de los dos escenarios, se puede encontrar que muchos algoritmos pueden obtener soluciones de alta precisión en el escenario sin considerar la postura. Sólo EOSMA, DE y MPA pueden resolver eficazmente los escenarios de manera integral considerando la posición y la postura. Muestra que es difícil resolver el escenario considerando la postura y que muchos algoritmos caerán en el óptimo local. Por el contrario, DE obtiene una mayor precisión de convergencia en el escenario que considera la postura, lo que indica que el problema de IK que considera la postura requiere que el algoritmo tenga una fuerte capacidad de exploración. Por el contrario, el problema de IK que no considera la postura requiere que el algoritmo tenga una gran capacidad de explotación. Por lo tanto, en el escenario 1, los parámetros de EOSMA se establecieron de la siguiente manera: coeficiente de exploración \(a_{1} = 1\), coeficiente de explotación \(a_{2} = 2\) y probabilidad de mutación \(q = 0\). ); En el escenario 2, los parámetros de EOSMA se establecieron como: coeficiente de exploración \(a_{1} = 2\), coeficiente de explotación \(a_{2} = 2\) y probabilidad de mutación \(q = 1\).

Debido a que el rendimiento de muchos algoritmos en estos dos escenarios difiere mucho, estudios anteriores no compararon los dos escenarios. EOSMA puede adaptarse bien al problema IK en diferentes escenarios simplemente ajustando los parámetros que controlan las capacidades de exploración y explotación, lo que demuestra que el EOSMA híbrido tiene una fuerte capacidad de generalización. El excelente desempeño de EOSMA se puede resumir de la siguiente manera.

SMA tiene una gran capacidad de explotación y capacidad de exploración de EO. El operador de actualización de concentración de EO se utilizó para guiar la búsqueda global de SMA para mantener el equilibrio entre exploración y explotación, aumentar la diversidad de la población y mejorar la solidez y la capacidad de generalización.

El operador de actualización de SMA en la etapa de explotación es defectuoso y es fácil guiar a los agentes de búsqueda para que converjan al origen en la última iteración, lo que resulta en una búsqueda no válida. Se simplificó la estructura de SMA, se redujeron los parámetros y el tiempo de cálculo.

La estrategia de selección codiciosa se utilizó para retener las ubicaciones óptimas históricas individuales y óptimas históricas globales y luego actualizarlas en función de las ubicaciones óptimas históricas individuales y óptimas históricas globales, lo que mejora la eficiencia de la búsqueda.

La estrategia de mutación de diferencia aleatoria se incluyó después de actualizar la ubicación de EOSMA para ampliar el rango de búsqueda de los agentes de búsqueda, mejorar la posibilidad de que los agentes de búsqueda escapen del óptimo local y evitar una convergencia prematura.

Aunque los resultados de este estudio muestran que EOSMA y su versión multiobjetivo superan a la mayoría de los algoritmos de comparación, todavía tiene algunas limitaciones. Hay muchos parámetros ajustables en EOSMA. Puede resultar difícil configurar los parámetros para diferentes aplicaciones. Es necesario no sólo conocer la influencia de diferentes parámetros en la exploración y explotación del algoritmo sino también algunas propiedades del problema. Además, el EOSMA propuesto en este documento está diseñado para el problema IK y su eficacia en otros problemas del mundo real debe probarse más a fondo.

En este artículo, se desarrolló un SMA guiado por EO para mejorar la eficiencia de la búsqueda ampliando el rango de búsqueda del moho limoso para abordar de manera eficiente el problema IK de los manipuladores redundantes. El rendimiento de EOSMA para el problema IK se verifica comparándolo con 15 algoritmos de objetivo único y 9 de objetivo múltiple, y algoritmos comparables utilizados en estudios anteriores. Sin considerar la postura, EOSMA es superior a 15 algoritmos de comparación en términos de mejor, peor, media, desviación estándar y tiempo promedio de solución. EOSMA puede converger al óptimo global con una precisión de convergencia promedio de 10e−17 m, que es 4 órdenes de magnitud mayor que el mejor algoritmo de comparación PSOGSA. El tiempo medio de solución es de aproximadamente 0,05 s y la robustez es la mejor. Al considerar la posición y la postura, el rendimiento de EOSMA es similar al de SASS, pero EOSMA tiene un tiempo de solución más corto. La precisión promedio de la solución de EOSMA puede alcanzar 10e-18 y el tiempo promedio de solución es de aproximadamente 0,36 s. En comparación con los 9 algoritmos de optimización multiobjetivo, la versión multiobjetivo de EOSMA obtiene mayor precisión, cobertura más completa y distribución más uniforme de PF. Los resultados de la simulación muestran que el cambio general del ángulo de la articulación obtenido por EOSMA es pequeño y la trayectoria del movimiento es suave sin fluctuaciones obvias. Los resultados estadísticos muestran que EOSMA tiene un mejor rendimiento para el problema IK, lo que es significativamente diferente de otros algoritmos. Para algunas posturas deseadas, los errores de posición y postura no se pueden eliminar sincrónicamente y deben quedar comprometidos entre los dos. MOEOSMA puede proporcionar a los usuarios un PF bien distribuido para elegir y es un método alternativo eficaz para resolver el problema IK de manipuladores complicados. Aunque se han logrado resultados prometedores, todavía quedan algunos problemas que deberán estudiarse en el futuro. EOSMA tiene muchos parámetros y, dependiendo del problema a resolver, se pueden considerar métodos de selección adaptativa de parámetros para el algoritmo, como el mecanismo adaptativo de parámetros basado en el historial de éxito88 o el mecanismo adaptativo de parámetros basado en el aprendizaje por refuerzo89. Además, EOSMA se puede aplicar a otros campos, como la extracción de parámetros fotovoltaicos y el ajuste de la postura de los satélites.

Todos los datos, modelos y códigos generados o utilizados durante el estudio aparecen en el artículo enviado.

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Descargar referencias

Este trabajo fue apoyado por la Fundación Nacional de Ciencias de China bajo la subvención No. U21A20464, 62066005, y apoyado por el Programa para un equipo de investigación joven e innovador de la Universidad de Ciencias Políticas y Derecho de China, bajo la subvención No. 21CXTD02.

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Qifang Luo y Yongquan Zhou

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SY llevó a cabo los estudios del algoritmo EOSMA y participó en la redacción del manuscrito. QL llevó a cabo el borrador original y la revisión y edición; GZ llevó a cabo el modelo de algoritmo de diseño; YZ llevó a cabo la revisión y edición. ZZ llevó a cabo el análisis del algoritmo. Todos los autores leyeron y aprobaron el manuscrito final.

Correspondencia a Qifang Luo o Yongquan Zhou.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Descargar cita

Recibido: 24 de enero de 2022

Aceptado: 25 de mayo de 2022

Publicado: 08 de junio de 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-13516-3

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